2. Je considère une fonction bornée impaire, ©(*), . de période ?, exprimée en série trigonométrique
tp(0 = ftisin-j-+’*.si"’- L ^-+—-+*« S1 ! 1 — h —-’
telle que le produit J7i&„| soit ’.■< A donné quel que soit n. Alors, par l’addition d’inégalités comprises dans (2), j’obtiens (’)
(3) — / e»'>«)p(0* <7=l^ e < T7^1T’
v ’ 27r J „ ! VCOS2 5C - " y/COS2«
où £ est une constante convenable, car on a
a 1 — ^ 1 r dx, / ■,
3. Voici maintenant la définition de <p(/). Je-me donne les nombres e>o, a >■- et<i, b>i, enfin T assez grand pour, que T* soit >T + zT a. Je prends la période t. = 2T* et je définis <p(ï) dans la demi-période (o, T é) en posant <p(ï) égale à l’unité du signe de p(«) dans l’intervalle (T (T+T a) et en annulant <p(i) dans les deux intervalles restants. Le coefficient b n s’exprime par une intégrale de forme connue, dont le calcul est aisé et donne
...|n6„|.’<4«’ : rç>, ■.
v-i étant le nombre des changements de signe de <p.(*) dans la demipériode, c’est-à-dire celui des racines d’ordre impair de ç(ï) entre TetT-heT a. Portons la valeur que nous venons ainsi d’obtenir pour h dans (3), il vient
. /•-, 8t>log(2*t*) — / c««o>(0-p(0* " "~"
2TC V » ’
<4)
■rcy’cosia
4. Je pose a = J - £ dans (4) et je fais tendre T vers l’infini. La démonstration résulte de la comparaison de l’ordre d’infinitude des deux membres. Cet ordre esuapparent dans lésecond membre, qui devient infini comme
v v/T logT. Examinons le premier membre.
Il se réduit à la somme des intégrales dans les intervalles (T, T-+- eT"),
(’) L’intégration de îa série terme : à terme se justifie facilement, parce que les mes partielles sont bornées en vertu d’un théorème de M. Fejér.
som
