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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ■ zéros ■ deX(s) de Riemaim. Note de M. C. de la Vallée Poussin.
Je me propose de démontrer le théorème suivant : Soient a une constante >j mais=i, s une constante positive aussi petite qu’on i>eut ; ièridMre des racines deX(s) gui sont d’ordre impair et de la formel +-ti, où l’on a
T < t < ^ T -+- T% est infini avec T et d’ordre plus élevé que T " i : logT. En particulier, le nombre des racines où t est compris entre T et (x+eYT est d’ordre supérieur à T’ : logT. La démonstration de ma Note précédente (i) se rattachait immédiatement aux idées de M. Hardj. Celle-ci se rattache plus directement aux idées de M. Landau (2)elle a l’avantage de s’appliquer aux fonctions liées à une progression arithmétiquel auxquelles on peut donc étendre le théorème que je viens d’énon.cer. ; (
1. L’équation (1) de ma dernière Note peut s’écrire comme il suit i ■
0)
— I ■■■ :■** p’ t) dt =-l e * -+ -t» e*. V e-» !
J’y remplace a par a - ipi ((3 >o). Le module du second membre est inférieur à la somme de ceux des termes, donc à
■ V cos -2.« /cosaa
J’écris que la partie imaginaire du premier membre de (1) est inférieure à cette limite ; il ! vient
(2)
—^jT.e=«.sin(2(3/)p, (.f)^
< >■■■, " ■.«, <■ 7 ycosasc ’ ;4
(- 1) Comptes rendus, t. 163, 1916, p. 4i8 r.., .-...•
(ï) :J/«/A. ^««., B. 26, , p. ; 2 1 : 2-a43. J’«trlise. quelques procédés de raisonnement de
M. Landau.
