Je pose, en sorte que p(t) est une fonction paire,
M. Hardy démontre la formule (sauf une correction indiquée par M. Landau)
(1) / e<* l p{t)dtz=z — 47rcos-H-37 : e 2 Y e-^e"»’,
— «
où a est un paramètre dont la partie réelle est comprise entre =t j- Si t tend
vers 4- 00, p(ï.) devient < e Sf e * quelque petit que soit e, en vertu des formules d’approximation de F, de telle sorte que l’intégrale (1) est absolument convergente.
Je remplace a par^- — w, où w aura sa partie réelle positive. J’obtiens ainsi ^ e — nïKe™-’ y / jk g— H 2 7t
■2«~
2 e - " 1 sinK
1 V s / 2 sin m
/a sin «
comme on s’en assure aisément en faisant w = -et2s= 2e - *" : sin« dans la
2
formule connue (’)
Y«-*COS(Mltffl) = -4Y«"
—{n+toV
- > e
Après simplifications, la formule (1) revient ainsi à la forme (réelle)
(2)
/»
in m •*^
2. On voit immédiatement que.^(«) et ses dérivées s’annulent pour «= o. Je calcule les majorantes de ces dérivées parle procédé classique. Ainsi, soient u un point dé l’axe réel positif, C un cercle de centre u et de
(’) M. Landau fait- un usage analogue de cette formule.
