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SÉANCE DU 12 JANVIER 1914.

Or, d’après l’inégalité connue de M. Jensen, pour ${\displaystyle }$ ,

${\displaystyle }$

donc, pour ${\displaystyle }$ ,

${\displaystyle }$

Lemme II : Soit la série ${\displaystyle }$ convergente pour ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$. Alors on a, uniformément pour ${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$

Démonstration : Pour ${\displaystyle }$ fixe, c’est un théorème connu de M. Schnee (voir p. 799 du Handbuch de Landau). Pour ${\displaystyle }$ variable, la méthode de M. Schnee conduit aussi aisément à notre énoncé, ce que nous détaillons en quelques lignes dans notre Note aux Rendiconti cités plus haut.

Démonstration de ${\displaystyle }$ : On peut supposer que le nombre positif donné ${\displaystyle }$ est ${\displaystyle }$. Nous entendons par ${\displaystyle }$ un entier quelconque positif et nous posons, pour ${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$

fonction régulière dans tout le plan, sauf peut-être $s=1$ et possédant, dans le demi-plan ${\displaystyle }$, les mêmes zéros que ${\displaystyle }$. Posons encore

${\displaystyle }$