ramène le domaine çc, *’ — 3e 3 >o, ç + ç'>o entièrement à distance finie. Ces fonctions n’ont pas de singularité essentielle dans ce domaine, mais en ont dans le domaine qq’ — ïe 2 < o, où elles peuvent même ne pas exister. L’existence dans le groupe de certaines substitutions entraîne que ces fonctions soient, pour certains points de çq’ — 3£ 2 = o, fonctions analytiques de certaines variables ne dépendant que du groupe considéré.
On obtient des groupes discontinus analogues au groupe arithmétique en considérant les transformations en elles-mêmes à coefficients entiers de formes quadratiques à cinq variables du type w 2 -+- u -+- u — u — u, u, u 2, « 3, m 4, w 5 étant des formes linéaires réelles distinctes.
GÉOMÉTRIE. — Sur les invariants des variétés algébriques à trois dimensions. Note de M. Alfred Rosenblatt, présentée par M. Emile Picard.
Considérons une variété algébrique à trois dimensions V 3 et supposons son genre géométrique au moins égal à 3. Supposons de plus les surfaces canoniques irréductibles, sans parties fixes et se coupant trois à trois en des points variables, ce qui exclut qu’elles puissent être composées par les surfaces d’un faisceau ou formées chacune par oc 1 courbes d’une congruence. Les inégalités que j’avais établies entre les genres^, p a, p (’) d’une surface algébrique qui n’appartient pas à des classes spéciales qu’on étudie séparément, vont nous permettre de déduire des inégalités importantes entre les invariants de notre variété.
Soient. P^P„ les genres géométrique et arithmétique de V 3, p g, p a, les genres géométriques et arithmétiques virtuels d’une surface canonique F de V g, donc p g — p a =d l’irrégularité superficielle de V 3. Soient ensuite A, A, le degré et le genre virtuels d’une courbe caractérisa tique C du système canonique linéaire |F| de V 8, etp (,), p {2) les genre et
(») Voir mes Notes des Comptes rendus du 3 juin 1912, du 6 janvier igi3 et du 27 janvier 1913. J’ai exposé mes recherches dans les Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXV, 1913 : dans un travail inséré dans les Prace matematycznofizyczne, t. XXVI, 191 3, Sur les surfaces algébriques qui possèdent un faisceau irrationnel de courbes hyper elliptiques de genre deux, ainsi que dans un Mémoire ; Sur certaines classes de surfaces algébriques irrégulières et sur les transformations birationnelles de ces surfaces deux en elles-mêmes, dans le Bulletin de l’Académie de Cracovie, juillet 1912. Je remarque que certaines recherches de ce Mémoire sont développées plus en détail dans les Rozprawy (Mémoires) de cette Académie, t. LU, série A, 1913 (en polonais).
