Une autre démonstration est due à Poincaré (Journal de Mathématiques, 1898). Le grand géomètre introduit, en outre, des points singuliers (Pii9i)(^— ï) 2 ; •••> m) au voisinage desquels u(p, q) se comporte comme - alogr ; - 2 log|logr ;.|, r’f = (p -p’.)* + (q - q’.)
L’application des principes exposés dans une Note récente (Comptes rendus, t. 157, p. 629) m’a conduit à une démonstration nouvelle du théorème de M. Picard, valable dans le cas général de Poincaré, auquel cas l’inégalité Sk ; <o doit être remplacée par S a, — — ot’<o. Je me permets de l’exposer ici dans ses traits essentiels.
Soit (3 une fonction positive, continue avec ses dérivées premières, sauf aux points (p h q-) {i = 1, ..., m), (p t, q’.) (i= 1, ..., m’) dans le voisinage desquels elle est égale à
(4). rf, 2 /-r 2 (iog^)^,
et telle que
(5) / If3a ?w = 27i(— 2/Xi-h 2m’),
doi désignant l’élément d’aire. Soit v (p, q) une solution de l’équation A 2 t>=j3 continue sur T, sauf aux points (p h qi) (« = i, ..., m), (Pii ç’i) (l==I > •••» m ’)) ou e ^ e se comporte comme u (p, q). La détermination de v ne présente pas de difficultés sérieuses. Posons
(6) u(p, q) = ç(p, q)-hU(p, q).
Alors
(7) A 2 U-+-f3 = /te<’e u — Ke v.
La fonction K. est continue sur T, sauf aux points (p h q (), (p’ ir q’ £). De plus, on a
S
(8) o < jxj < ^r < (A 2 (p. 1 ; f* 2 = const. finies).
On retombe sur l’équation (7) en cherchant le minimum de l’intégrale
(9) 1= rAA 1 U-2(3U4-2Ke u)rfco.
On voit facilement que
(10) min.(2Ke u — 2(3U) — 2 (3 ^ 1 — log|^ > 2(3(i — log^).
C. R., 191», 2« Semestre. (T. 157, N« 26.) 196
