Les fonctions u 2,…, u n étant arbitrairement choisies, l’équation (E„), considérée comme déterminant u n est une équation linéaire aux dérivées partielles. Il est clair que si l’on pouvait l’intégrer, le problème serait résolu. Telle est la remarque qui nous a servi de point de départ. Nous allons l’appliquer successivement aux équations (E 2), (E 8),….
2. La solution la plus générale de l’équation (E s) est donnée par les formules
(’) j f-F(x u x %)dx i =<sf’XI {ûc u « 2),
9 (a ;, u 2) désignant une fonction arbitraire (’). Pour abréger, nous n’établirons pas ce résultat.
3. Intégrons l’équation (E„). Le système des équations différentielles des caractéristiques est
Il admet les intégrales
(3) U 2 =OC 2, M 3 = « s.
Afin d’obtenir une troisième intégrale de ce système, définissons les fonctions w 2, u s au moyen des équations
fF^i, Xj, a ? s)rfa ? 3 =+ 3 (a ?, « 2, "s) On déduit de là, en posant, pour un instant, z— F (x » x. 2, x 3)dx 3,
d{xi, %i)
à(^i, <M ■ T d(^ 2 ; X 3) F(^Ci, ^ >r 3)
d(iu, U3) ~ d(u t, u 3) ~~ < ? ( « a, « 3) ^( » 8> "3)
Par suite, la dernière équation (2) peut s’écrire
d{u 2, M S)
(’) M. Gravé (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1896) a résolu l’équation (E 2) dans le cas où le second membre est une fonction de « ,.
