Soit ; • • ;, ;, •....■ • -, — ■, .
H = [(a 1 a ? 1 +...-h a p x p — i) s + (al +’...-+- a p) (x p+l +... + â ;* +s+,)] ■ * (s>o),
la fonction fwmonique et finie à l’intérieur de S : (|« /| «O)» ci 11 * ’définit sur S, d’après -M. Appell (’), les polynômes adjoints U^, „,
Rs=[{a 1 x ; 1 +... + a p a ; p —i) i -r(a-)-.>...-hal)ii—a :*—... — œl)] 3
Comme H(£, ..., p, o, ..., o) ’= (1 — à K K —...— a p £ p) ~~’ s, l’application du lemme donne les résultats suivants :
Si un seul indice de U est différent de l’indice correspondant de V
i
■ rs ~p T m x... mj... m. } KJ m l...[/.y., . «/.„ "^i...uusp — y> 7
Kà°). :■■■..
si tous les indices sont égaux
(") / V v^, ... m u^...» v ^—-^ • ■ •’
(x ’-= 0)
" - — ^- 7 -Nt ï f xT^rfa ;, ...dx„..
3f*.+ ? (i, » !l)...(l, »^)J(x |, >»).....
D’où la possibilité de calculer le développement d’une fonction
(«) 0(3 ? !, ..., ^ f,)= : 2A mi...^u^...„ y.ou ( ?). a =.sé„ 1. ;.„ F(v«j, ..,
Par exemple, pour la forme (m), (III) f X~&£.„ m dx x...dx p
•p <*&)
= a„, jl — ^ — r x ? 1 ^, ... dx p. "<-’" ? 2iJ. + q (i, m,)...(i, m f)J (^, } p ■ : "
Dans le cas général, (HI) n’apprend rien sur la convergence de (a) ; mais si la fonction donnée O est taylorienne, la fonction harmonique©, telle que @ s — £2 (solution du problème de Dirichlet), satisfait aux conditions du lemme, d’où par simple quotient de (I) et de (HI)
n v (’ 1 w l)...(i, m f > „. •, ■ •■
(y> *-, „>...m f — ^^ *m t...m f (l) P. Appell, Comptes rendus, séance du 13 juin io, i3), — • C. Hermite (Œuvres, t. II) et F. Dîdon (Ann. Éc. JVorm., t. V), avaient considéré des cas particuliers de ces polynômes.
