Il est clair que la suite des opérations précédentes laisserait inaltérée toute fonction quasi périodique attachée au corps des périodes b n b 2, ..., V
D’autre part, comme les limites sont toujours atteintes uniformément, ces opérations peuvent être effectuées terme à terme sur tous les éléments d’une série uniformément convergente, en particulier sur la série (2) qui représente f(œ). Les’seuls termes de la forme (3) de U s (a ?Vqui subsisteront seront ceux pour lesquels les périodes a seront de la forme (6), c’est-à-dire appartiendront au corps défini par b n b 2, .., b r En désignant leur somme par u k {x), la série
sera convergente et représentera précisément la fonction définie plus haut. On a ainsi, par deux procédés différents, un moyen de séparer, dans une fonction quasi périodique donnée, la partie qui constitue, si elle existe, une fonction quasi périodique attachée à un corps de périodes b t, b, ..., b q arbitrairement données.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d’une fonction en série de polynômes ultra-sphériques. Note de M. Kampé de Féeiet, présentée par M. Appell.
Lemme. — Soit ©(#„ x, .. -, x^^une fonction harmonique et finie à l’intérieur de l’hypersphèrc S :^ +., .+ ^ +1 = i ; seréduisantsurSa une
fonction û^, ..., ^) et possédant le développement taylonen con . Q. f y x- a n"> — s ? m * £"vK. dans tout le dovergent 0(ç, ■•., z p, o, ..., o ; — iç t ■• • = 1 - x -...- x ;>o, x p+1 =...= oc. P ^ +{ = o ; on a
—1 r 1 ’ —
•^(x^o) ’ v r- ’
où ’ ■
- j + s — i = gv «1+- • •+ m p.— P
Si $ et W désignent les fonctions définies dans une Note précédente (’), faisant dans V : T = X, ^ = «, .. • &, , = «„-„ et appliquant la formule de Green, pour l’intérieur de S, à W et 0, puis à $ et 0, par soustraction, on obtient (I).
(’) Comptes rendus, séance du 17 novembre 1918.
