constance incompatible avec l’inégalité fondamentale que doivent vérifier les périodes.
Si A est réel, la base des périodes est nécessairement de la forme
A x ’ X X ;
les colonnes de A sont formées de nombres de k, les deuxième et quatrième étant respectivement conjuguées, dans k, des première et troisième. Les A, A’, [A, [/ sont des nombres imaginaires a priori arbitraires et X est une substitution d’ordre 2 également arbitraire. En adoptant le langage géométrique indiqué par M. Humbert et si ingénieusement employé par M. Cotty, on peut encore dire que les périodes sont formées de deux points pris arbitrairement sur une droite, choisie elle-même arbitrairement dans une certaine congruence arithmétique. Les multiplicateurs comprennent alors X" 1 x [s, £’] X X, les s étant les entiers d’un certain anneau de k, défini à partir de A ; si les À, p. sont arbitraires, il n’y a pas d’autres multiplicateurs.
Pour des valeurs convenables des A, [^, il existe des multiplicateurs ayant pour racines lambdaïques des nombres biquadratiques imaginaires. La" matrice des périodes est alors égaie, à un produit près à droite par X, à la base d’un idéal d’un anneau d’un corps biquadratique (relativement quadratique par rapport à k) ; les multiplicateurs sont X" 1 X [vj, r’]x X, les y) étant les entiers de l’anneau. Il y aura autant de classes de fonctions abéliennes (définies à une substitution linéaire près sur les variables) que de classes d’idéaux dans l’anneau. Cette extension des propriétés des fonctions elliptiques est bien conforme à la vérité générale, énoncée par M. Cotty dans une récente Note (’) sur les relations entre fonctions abéliennes singulières et corps quadratiques réels.
Enfin, en disposant autrement des A, p., on peut avoir, en plus des multiplicateurs déjà indiqués, X, [e, é, JX ; 1 et X s [e s, i 2 ] X" 1, lèse, entiers complexes d’un anneau d’un deuxième corps k(t t), qu’on peut choisir quelconque (mais réel), les t 2 entiers d’un anneau d’un troisième corps déduit des deux premiers. Les X, X 2 se déduisent de X.
Il va sans dire que dans chacun de ces cas, on retrouve les relations
(.- 1) Comptes rendus, 13 mai iç)i3.
