retrouve les propriétés de la multiplication complexe des fonctions elliptiques. La base des périodes, ou plus exactement le Tableau P, doit être à une dilatation près, la base d’un idéal d’un anneau d’un corps quadratique imaginaire. Les multiplicateurs U, qui sont alors des nombres, sont tous les entiers complexes de cet anneau. Il y a autant de classes de fonctions elliptiques de même rapport de périodes (P défini à une dilatation près), admettant un anneau donné de multiplicateurs que de classes d’idéaux dans cet anneau (les bases des idéaux d’une même classe se déduisent de l’une d’elles par dilatation).
3. Pour le cas n = 2, il est naturel de s’occuper plus spécialement des fonctions abéliennes. Mais pour de telles fonctions, il existe une relation entre les périodes qu’on peut écrire symboliquement, dans le cas général :
l«i«ja s « t || x S X
P.
S étant un tableau symétrique gauche, d’ordre 4, à termes entiers.
Si l’on cherche les U qui peuvent être mis sous la forme canonique générale TJ = V >< fvj, V)’] x V~ H, les nombres y], yj’, tf sont quatre entiers conjugués du quatrième ordre, qui peuvent devenir du deuxième si deux d’entre eux sont égaux. Mais, si l’on tient compte de la relation ci-dessus, on voit que le groupe du corps des Y) (quand ce corps est de degré 4) est seulement d’ordre 8. Les y] sont donc biquadratiques et leur corps contient un corps du second degré k. Donc, parmi les multiplications complexes (si elles existent) d’un système de fonctions abéliennes, il y en a une infinité dont les racines de l’équation en X sont des nombres quadratiques. En discutant la nature de ce corps k et du corps biquadratique qui en dérive peut-être, on retrouve les différents cas de multiplication indiqués par M. Humbert dans son important Mémoire du Journal de M. Jordan (1900), pour une forme particulière de S. On trouve en outre, pour chacun d’eux, des résultats intéressants sur les bases des périodes et les multiplicateurs, résultats qui, dans un cas, généralisent les propriétés des fonctions elliptiques.
4. Si le corps k est imaginaire, on obtient, soit le cas elliptique (une fonction elliptique admet les périodes considérées), soit une cir-
