THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la multiplication complexe. Note de M. A. Chatelet, présentée par M. Emile Picard.
J’ai indiqué, dans de précédentes publications (’), l’intérêt que présente, pour une certaine représentation des nombres algébriques, la réduction d’une substitution linéaire à sa forme canonique. Cette même réduction permet de poser, de façon générale, le problème de la multiplication complexe des fonctions périodiques et met en évidence ses relations avec les nombres algébriques.
1. Soit une fonction de n variables imaginaires x h ou un système de fonctions, admettant in périodes simultanées et indépendantes (fonctions entièrement périodiques de M. Esclangon) et considérons le Tableau P dontles« premières colonnes constituent une matrice de base du module des périodes, et dont les «dernières colonnes soient les imaginaires conjuguées des premières [A(P) ^ o, puisque les périodes sont indépendantes].
Une multiplication complexe consiste à faire sur les a ;, — une substitution, soit U, tableau d’ordre n. Cette opération multiplie à droite par U la matrice des périodes et remplace P par
/ U O ., .., TT
Px fî) J U imaginaire conjugue de U.
Le problème se pose alors ainsi : Dans quel cas les nouvelles périodes appartiennent-elles au module des anciennes ? Ou, dans quel cas existe-t-il un tableau à termes entiers S tel que
- (SS)=, xP - Px (o, °)
xP-’ = ï.
Si l’on remplace U par la forme canonique, on met aussi S sous sa forme canonique ; on voit alors la relation avec les entiers algébriques.
2. Dans le cas de n = i, la forme précédente est, sans plus de modifications, la forme canonique de S. En supposant les fonctions analytiques et uniformes et en s’appuyant sur les résultats que j’ai établis ailleurs, on
(J) Comptes rendus, 21 novembre 1910, 19 février 191 1 ; Leçons sur la théorie des nombres, Paris, 1913.
