Convergente pour toute valeur de [t. (voir la démonstration de M. Picard, toc. cit., t. III, p. 89). Écrivons la condition que le second membre de (3) son, une fonction périodique de7 avec la période w, u. étant assez petit en valeur absolue ; on trouve que tous les b k doivent être périodiques. Donc, toute soluiiondu système (1) pour <v. quelconque est périodique avec la période w. Désignons par C une courbe gauche sans point singulier à torsion constante t ; soit G’ une autre courbe à torsion constante (t -+-"[/.). Supposons qu’on peut déduire C’ de C par une déformation qui n’altère pas la courbure p.
Si la courbe G est fermée, C l’est en même temps. Pour démontrer ce théorème, remarquons d’abord que p sera une fonction continue et périodique de l’arc s ; la période <o est égale à la longueur totale de C.
Le système différentiel
/ r dx dx t dx z dx,
Uj ~éG- x * ~d7~P x ^ -37=— ?*.-(* + /*)**, -^=(t + à L)a> t
admet les quatre solutions suivantes : une première solution
Xt = a, ^ 2 =o, x s = o, x i = o,
a étant une constante différente de zéro ; une deuxième solution
x t = x, x î= a, x^—b, x i= c,
x étant la première coordonnée cartésienne d’un point sur G’ et a, b, c désignant les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale de C’ par rapport à l’axe Ox. Enfin, on déduit la troisième et la quatrième solution de la deuxième en substituant Oy ou Os au lieu de Ox.
Le déterminant des quatre solutions précédentes est égal à a ; on en conclut que, dans le cas particulier où il s’agit de la courbe fermée C (p. = o), chaque solution du système (4) est périodique.
On voit que ce système satisfait aux conditions énoncées au commencement de cette Note ; par conséquent toute solution du système (i), pour x quelconque, sera périodique, c’est-à-dire que C’ sera fermée.
Les considérations précédentes ne s’appliquent pas au cas où la variable s ne figure pas explicitement dans les coefficients du système (4). Dans ce cas exceptionnel, la courbure p est constante ; si G est un cercle, G’ est une hélice ordinaire.
