où R est une solution du système
< 2) »= AR ’ R »=^R (|/ = Const.),
întég-rable en même temps que (i) et ayant parconsëquent n solutions linéairement distinctes ; R, R 2, ..., R„ étant les transformées successives de Laplace de la solution R, J’ai étudié séparément le cas, n = 2p + i, n = ip. Dans le premier cas, on peut prendre
et l’on démontre que, quelle que soit la solution R de (2), le réseau (x’ iP+l) est identique à (x’). Par conséquent, dans ce cas la condition est suffisante, J’avais déjà résolu ce problème pour le cas n = 3, à l’occasion de l’étude des transformations des surfaces S (Comptes rendus, 18 avril 1910). Dans le second cas (« = 2/ ?), on a
x = — H * - Rip-i «1 -+- R.p-, x* —... — Rj x lp ^, ■
et l’on démontre que le réseau (ao’ iP) n’est identique à (V) que dans le cas où l’on a la relation
(3) ’RR», — RiRip-i + RiR, -, —... + R, p, R, — ^, ., ^=6 = 0.
Si la solution R du système (2) est quelconque, on aû^o ; mais, si l’on tient compte du système (2), on trouve aisément
El— o Ë.~ du ' ch> — °>
c’est-à-dire 6 =s const. En prenant alors l’intégrale générale
R ;=2c<«RW (»=i, 2, ..., a/>) du système (2), on aura
où ç dépendra effectivement des constantes c il que l’on pourra par conséquent déterminer de manière que l’on ait c == o. On obtiendra ainsi des réseaux (x’) à invariants égaux et à suite périodique. J’ai déjà employé cette méthode dans le cas particulier de n — 4 (Bulletin de la Section scientifique de l’Académie roumaine, juin io, i3).
