Cette parabole, section de la sphère par un plan isotrope, est celle qui fut rencontrée par M. Lyon dans sa thèse. C’est l’indicatrice de la cubique gauche à torsion constante. •
Envisageons maintenant les équations (2) et supposons encore a, différent de zéro. La condition nécessaire et suffisante pour que le point à l’infini considéré n’introduise pas dans les intégrales ~3, , s t, 3 3 de singularités logarithmiques, est que l’indicatrice ait en ce point 4/1 + 2 points confondus communs avec la courbe d’équation
X».+«. -Y« £, {»+. -h ai X-H ^X’ +.’t. + a^xr»
- + 2 ’ l+l X*»-i
= O.
On peut donner dans chaque cas des énoncés de forme analogue. Donnons ici celui qui est relatif à la valeur la plus grande de l’entier k, soit
P ~ Im.
Il faut et il suffit que l’indicatrice ait p(p -+- 2) points confondus communs avec la courbe d’équation
Ces résultats fournissent sans effort une infinité de courbes unicursales nouvelles, donnent par une méthode régulière toutes celles qui n’ont à l’infini que deux points distincts, avec de précieuses indications sur les courbes algébriques les plus générales.
Si l’on cherche, par exemple, toutes les indicatrices de degré m, ayant m points distincts à l’infini, il faudra qu’en tous ces points, une génératrice rectiligne de la sphère soit tangente stationnaire. Supposons que p de ces droites appartiennent à un système de génération, q appartenant à l’autre (p + q = m) :
i°./>>3, y>3.
Ces courbes n’existent pas au-dessous du sixième degré. 2 Le genre g doit satisfaire à l’inégalité suivante, où p est supposé plus grand que q :
g’tp — g-hi.
Le minimum du genre est donc l’unité, et ce minimum ne saurait être atteint que pour des courbes de degré pair.
Lapins simple de ces courbes sera, si elle existe, la courbe.de genre r, dont l’équation serait de la forme
(.r - Xi)Ax.— p t) {x~œ s) (y—. n) (y x,){y ■ ~ Wf) = k(y - xf, C. R., i 9 13, 2 « Semestre. (T. 157, N 25.) 180
