exposées dans un Rapport sur les récents progrès du Système métrique, qui a été élaboré par M. Ch.-Éd. Guillaume, et que je présente également à l’Académie. Ce rapport traite des perfectionnements introduits dans la construction et dans l’étude des étalons, des déterminations fondamentales, des modifications apportées aux législations, enfin des progrès d’ordre général dans l’expansion du Système métrique.
THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les formes quadratiques binaires indéfinies.
Note de M. G. Humbert.
1. Dans un Mémoire publié au Journal des Mathématiques (6 e série, t. IV), j’ai fait connaître des formules relatives aux minima des classes de formes quadratiques binaires et positives : certaines sommes algébriques de minima, étendues à toutes les classes de discriminant M, s’expriment à l’aide des diviseurs des nombres M - xjx prenant toutes les valeurs entières inférieures, en valeur absolue, à ^M.
J’ai, depuis, obtenu de nombreuses formules où les seconds membres sont également exprimables par les mêmes diviseurs, et j’ai reconnu, très simplement, qu’on peut, au lieu de ces diviseurs, introduire les coefficients des réduites indéfinies de déterminante. Dans ce qui suit, je me bornerai au casoùM~4N + 3.
2. Soit une classe de formes quadratiques binaires indéfinies, de déterminant 4N + 3 et de l’ordre propre ; j’appellerai, dans cette classe, formes réduites, les formes ax 2 + i bxy ■+■ cy* qui satisfont aux conditions suivantes :
i° a et c sont impairs, ce qui entraîne b pair ;
2° la circonférence représentative de la forme, c’est-à-dire, la courbe c(¥ + ï] 2) + 2^ + a = o, pénètre dans ledomaine situé au-dessus de l’axe des et limité par la circonférence ? 2 -J- rj 2 = ï, et les droites £==-+- ï, H =— ï..
Cette définition des réduites n’est pas tout à fait celle de Stephen Smith ; les considérations qui vont suivre l’introduisent naturellement.
Nous appellerons réduites principales les réduites dont la circonférence représentative coupe la circonférence £ 2 + if = ï ; les réduites non principales seront dites secondaires.
