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a [*(/') = o pour les valeurs de r inférieures à une valeur fixe]. Nous dirons que la fonction est monogène sur les droites telles que A.
La question se pose donc de déterminer la fonction tf>(r) de manière que la validité du théorème soit aussi étendue que possible ; je suis arrivé à démontrer que l’on peut prendre
(5) IogE-log. K’-)]^^'
e étant une constante positive quelconque.
Pour donner un exemple précis, considérons la couronne T comprise entre les cercles (c,) xx^-^-y- = i, (c 2) : x- -+-y 2 = 4 ; et posons
y 2 — i)(4 — X*— y°-)e- er '~ dxdy ^■=/X '- -V ;
■ m
La fonction ainsi définie est monogène à l’intérieur de(c,) à l’extérieur de (< ? 2) et aussi sur les segments de l’axe des x qui réunissent (c,) et (c 2).
La connaissance de ses valeurs au voisinage d’un point quelconque de ce domaine d’existence la détermine dans tout le domaine.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés des fonctions mesurables. Note de M. IV. Lusis, présentée par M. Emile Picard.
La lecture de la Note intéressante de M. Borel {Comptes rendus, 1 2 février 1912) m’a inspiré l’idée de résumer ici les résultats sur les fonctions mesurables déjà publiés par moi en russe dans le Recueil de la Société mathématique de Moscou (t. XXVIII, 2, 191 1) dans le Mémoire intitulé : Sur un théorème fondamental du Calcul intégral.
Sohf, (x), f„(x), ..., f n (x), ... une suite de fonctions mesurables que nous supposons convergente et tendant vers une fonction-limite /(«) pour tous les points x de l’intervalle o5a ?<i, sauf peut-être les points d’un ensemble de mesure nulle. D’après un théorème important de M. Egoroff (Comptes rendus, 3o janvier 191 1), il existe un ensemble P parfait et non dense et jouissant des propriétés suivantes :
i° La suite/, / 2, ..-, /„, ... converge uniformément vers f(x) pour cet ensemble P.
