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ACADÉMIE DES SCIENCES.

(7) fournit, dans ces conditions (en donnant aux constantes additives la même valeur), l’équation

(δ)

\left(\rho _{1}-\rho \right)ga=-12\mathrm {D} _{1}\mu _{1}a+\mu \left({\frac {12\mathrm {A} }{a^{4}}}+{\frac {6\mathrm {B} }{a^{2}}}\right).

Le mouvement de la sphère, tel qu’il est défini par la seconde formule (I) eu égard aux expressions (3’) de $\mathrm {R} _{1},$ $\Theta _{1},$ peut être considéré comme la somme d’une translation générale de vitesse

(II)

\mathrm {V} =2\left(\mathrm {C} _{1}+\mathrm {D} _{1}a^{2}\right)

et d’un mouvement additionnel $\mathrm {M} _{1},$ qui, sur toute la surface $r=a,$ est tangentiel^[1]. Donc, dans nos hypothèses, la forme sphérique est conservée, et $\mathrm {V} ,$ défini par la formule précédente, est la vitesse de chute qui doit figurer dans notre résultat final.

En résolvant les équations (α), (β), (γ), (δ), par rapport à $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} _{1},$ $\mathrm {D} _{1},$ et reportant dans (II), il vient

(III)

\left(\rho _{1}-\rho \right)g={\frac {9}{2}}\mu {\frac {\mathrm {V} }{a^{2}}}{\frac {\left(\mu _{1}+{\frac {2}{3}}\mu \right)}{\mu _{1}+\mu }}

.

Si ${\tfrac {\mu _{1}}{\mu }}$ est très grand, on a sensiblement

\left(\rho _{1}-\rho \right)g={\frac {9}{2}}\mu {\frac {\mathrm {V} }{a^{2}}}\left(1-{\frac {1}{3}}{\frac {\mu }{\mu _{1}}}\right).

Pour $\mu =0,01$ (eau) ; $\mu _{1}=0,00018$ [(air)^[2]], le dernier facteur du second membre à la valeur $1-0,006.$ C’est donc dans cette proportion que le rapport ${\tfrac {\text{résistance}}{\text{vitesse}}}$ est diminué par la fluidité de la goutte tombante.

La formule (III) présente, avec les résultats expérimentaux obtenus quant à présent (et encore inédits), de notables divergences. Il semble donc, jusqu’à nouvel ordre, que, dans les cas étudiés, les hypothèses classiques dont nous sommes parti doivent être modifiées.

↑ Les lignes de courant du mouvement $\mathrm {M} _{1}$ ont pour équation générale
$r^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\sin ^{2}\theta ={\text{const.}}$

Elles tournent autour d’un cercle situé dans le plan équatorial et de rayon ${\tfrac {a}{\sqrt {2}}}.$
↑ On néglige l’effet de la compressibilité de ce dernier.

[1] Les lignes de courant du mouvement $\mathrm {M} _{1}$ ont pour équation générale
$r^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\sin ^{2}\theta ={\text{const.}}$

Elles tournent autour d’un cercle situé dans le plan équatorial et de rayon ${\tfrac {a}{\sqrt {2}}}.$

[2] On néglige l’effet de la compressibilité de ce dernier.

[1]

[2]