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Si nous considérons un grand nombre de particules identiques et prenons la moyenne des équations (4) écrites pour chacune d’elles, la valeur moyenne du terme Xx est évidemment nulle à cause de l’irrégularité des actions complémentaires X, et il vient, en posant $\scriptstyle z={\frac {d{\overline {x^{2}}}}{dt}}$,

(5)

$\scriptstyle {\frac {m}{2}}{\frac {dz}{dt}}+3\pi \mu az=\mathrm {\frac {RT}{N}}$.

La solution générale

(6)

$\scriptstyle z=\mathrm {\frac {RT}{N}} {\frac {1}{3\pi \mu a}}+\mathrm {C} e^{-{\frac {6\pi \mu a}{m}}t}$

en prend la valeur constante du premier terme en régime permanent au bout d’un temps de l’ordre $\scriptstyle {\frac {m}{6\pi \mu a}}$ ou 10^-8 seconde environ pour les particules sur lesquelles le mouvement brownien est observable.

On a donc, en régime permanent d’agitation,

(7)

$\scriptstyle {\frac {d{\overline {x^{2}}}}{dt}}=\mathrm {\frac {RT}{N}} {\frac {1}{3\pi \mu a}}$,

d’où, pour un intervalle de temps τ,

(8)

$\scriptstyle {\overline {x^{2}}}-{\overline {(x_{0})^{2}}}=\mathrm {\frac {RT}{N}} {\frac {1}{3\pi \mu a}}\tau$.

Le déplacement $\scriptstyle \Delta _{x}$ d’une particule est donné par

(9)

$\scriptstyle x=x_{0}+\Delta _{x}$,

et, comme ces déplacements sont indifféremment positifs et négatifs,

(10)

$\scriptstyle {\overline {\Delta _{x}^{2}}}={\overline {x^{2}}}-{\overline {x_{0}^{2}}}=\mathrm {\frac {RT}{N}} {\frac {1}{3\pi \mu a}}\tau$ ;

d’où la formule (1).|90}}

III. Un premier essai de vérification expérimentale vient d’être fait par M. T. Svedberg^[1], dont les résultats ne s’écartent de ceux fournis par la formule (1) que dans le rapport de 1 à 4 environ et s’approchent davantage de ceux calculés par la formule de M. Smoluchowski.

Les deux démonstrations nouvelles que j’ai obtenues de la formule de M. Einstein, en suivant pour l’une d’elles la marche amorcée par M. Smoluchowski, me paraissent écarter définitivement la modification proposée par ce dernier.

1. T. Svedberg, Studien zur Lehre von den kolloïden Lösungen, Upsala, 1907.