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le nombre de molécules dans une molécule-gramme, nombre bien connu aujourd’hui et voisin de 8 × 10²³.

M. Smoluchowski^[1] a tenté d’aborder le même problème par une méthode plus directe que celles employées par M. Einstein dans les deux démonstrations qu’il a données successivement de sa formule, et a obtenu pour ${\overline {\Delta _{x}^{2}}}$ une expression de même forme que (1), mais qui en diffère par le coefficient ${\frac {64}{27}}$.

II. J’ai pu constater tout d’abord qu’une application correcte de la méthode de M. Smoluchowski conduit à retrouver la formule de M. Einstein exactement et, de plus, qu’il est facile de donner, par une méthode toute différente, une démonstration infiniment plus simple.

Le point de départ est toujours le même : le théorème d’équipartition de l’énergie cinétique entre les divers degrés de liberté d’un système en équilibre thermique exige qu’une particule en suspension dans un fluide quelconque possède, dans la direction $x,$ une énergie cinétique moyenne $\mathrm {\frac {RT}{2N}}$ égale à celle d’une molécule gazeuse de nature quelconque, dans une direction donnée, à la même température. Si $\xi ={\frac {dx}{dt}}$ est la vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de particules identiques de masse $m$

(2)

$m{\overline {\xi }}^{2}=\mathrm {\frac {RT}{N}} .$

Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport à la distance moyenne des molécules du liquide, et se mouvant par rapport à celui-ci avec la vitesse $\xi$ subit une résistance visqueuse égale à $-6\pi \mu a\xi$ d’après la formule de Stokes. En réalité, cette valeur n’est qu’une moyenne, et en raison de l’irrégularité des chocs des molécules environnantes, l’action du fluide sur la particule oscille autour de la valeur précédente, de sorte que l’équation du mouvement est, dans la direction $x\,:$

(3)

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-6\pi \mu a{\frac {dx}{dt}}+\mathrm {X}$

Sur la force complémentaire $\mathrm {X}$ nous savons qu’elle est indifféremment positive et négative, et sa grandeur est telle qu’elle maintient l’agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse finirait par arrêter.

L’équation (3), multipliée par $x,$ peut s’écrire

(4)

${\frac {m}{2}}{\frac {d^{2}x^{2}}{dt^{2}}}-m\xi ^{2}=-3\pi \mu a{\frac {dx^{2}}{dt}}+\mathrm {X} x$

1. M. von Smoluchowski, Ann. d. Physik, 4^e série, t. XXI, 1906, p. 756.