tion totale de la fonction f à variation limitée. Dans le cas où , , n’existent pas, on peut obtenir un théorème presque identique en remplaçant les dérivées par les nombres dérivés de Dini. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales analytiques des équations différentielles du premier ordre dans le voisinage de conditions initiales singulières. Note de M. Henri Dulac, présentée par M. Painlevé.
« et étant des fonctions de et de holomorphes et nulles pour , considérons dans le champ complexe, aux environs des valeurs singulières , les intégrales de l’équation
On connaît divers résultats relatifs au cas où le point singulier est un point d’intersection simple des courbes . Je me propose de rechercher dans quelle mesure on peut étendre ces résultats aux autres cas.
» Soient : l’ordre minimum des termes de et , et l’ensemble de ces termes d’ordre de et de ( ou peut être nul). Le point singulier sera dit d’ordre .
» I. Recherche des intégrales algébroïdes passant par l’origine. — À la méthode de Briot et Bouquet je substitue la méthode suivante, qui permet aussi d’obtenir toutes ces intégrales. Cette méthode, ainsi que je l’ai constaté récemment, ne diffère guère que par des détails d’exposition d’une méthode employée par M. I. Bendixson.
L’équation homogène fournit, pour , valeurs égales ou inégales. Soit une de ces valeurs ; deux cas peuvent se présenter :
» 1o La valeur n’annule pas à la fois et . En posant on met en évidence une seule intégrale holomorphe, quel que soit l’ordre de multiplicité de . On permute les rôles de et de pour étudier les intégrales tangentes à ;
» 2o La racine , d’ordre de multiplicité , annule à la fois et . Le même changement de variable nous ramène à l’étude d’une équation pour laquelle est un point singulier au plus d’ordre . Cette équation, outre l’intégrale , qui ne fournit pas d’intégrale pour (I),
