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conjoint Γ est un groupe primitif à la condition nécessaire, et suffisante que G soit simple^[1].

» VII. La condition nécessaire et suffisante pour que le groupe dérivé F d’un groupe régulier G et de son conjoint ou réciproque Γ renferme un groupe à un paramètre dont les transformations finies laissent invariable un élément de multiplicité plane à t degrés de liberté, et non à t + 1, passant par un point de position générale, est que G renferme une transformation infinitésimale telle que le sous-groupe des transformations de G qui lui sont échangeables soit d’ordre t.

» VIII. Le groupe F dérivé d’un groupe régulier G et de son conjoint ou réciproque Γ est de classe 1 pour tout point de position générale quand G ≠ 0, et 0 si G = Γ, c’est-à-dire si G est formé de substitutions échangeables.

» IX. Un groupe fini continu de degré n ne contient, aux environs du point de position générale $\scriptstyle Q_{0}$, aucune transformation infinitésimale X telle que les transformations finies de X changent toute courbe passant par $\scriptstyle Q_{0}$ en une courbe ayant avec elle en ce point un contact d’ordre supérieur à 2n.

» S’il est de classe s aux environs de $\scriptstyle Q_{0}$, il contient au moins une transformation infinitésimale X telle que les transformations finies de X changent toute courbe générale passant par $\scriptstyle Q_{0}$ en une courbe ayant avec elle en ce point un contact d’ordre s - 1.

» Ce qui précède peut conduire à préciser davantage la définition de la classe des groupes de transformations, par analogie avec celle de la classe des groupes de substitutions. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les logarithmes des nombres algébriques.

Note de M. Carl Störmer, présentée par M. Jordan.

« Dans un Mémoire qui va paraître bientôt dans le Bulletin de la Société mathématique, j’ai démontré quelques propriétés arithmétiques des logarithmes des nombres algébriques, dont je vais donner un court résumé ici.

1. Voir Frattini, Atti della R. A. dei Lincei (Rendiconti, 19 marzo 1803) et nos Mémoires ci-après : Thèse de Doct., p. 31 ; Quart. Journ. of Math., p. 119 ; 1894 ; et Mem. des Sav. étrangers, t. XXXII, n" 8, p. 53.
   La propriété VII est l’équivalente d’une propriété analogue des groupes G de substitutions dérivés d’un groupe régulier et de son conjoint. Le nombre t correspond au nombre N - u de lettres laissées immobiles par une substitution de G.