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mier ordre

(3)

$P{\frac {\partial f}{\partial z}}+Q{\frac {\partial f}{\partial z'}}+Rf=0,$

P, Q et R étant des polynômes du second degré en $z$ et $z'$. On a donc à déterminer une fonction $f$ de $z$ et $z'$ satisfaisant à l’équation (3), et un contour le long duquel s’annulent les expressions (2) ; certaines parties de ce contour peuvent d’ailleurs être à l’infini. De plus, il sera très avantageux de ne pas se borner à la signification usuelle de l’intégrale double, mais de prendre une telle intégrale avec le sens plus général que lui a donné M. Poincaré, en considérant $z$ et $z'$ comme des variables complexes.

» L’intégration de l’équation (3) revient à l’intégration de l’équation ordinaire du premier ordre

${\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} z}}={\frac {Q}{P}},$

que l’on ne sait pas intégrer d’une manière générale. Ce sera donc seulement dans les cas, assez nombreux d’ailleurs, où l’on a pu faire complètement l’étude de l’équation précédente que l’on pourra tirer parti de la transformation qui nous occupe.

» 1. Un exemple assez général nous est fourni par l’équation suivante

$(ax+by){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+(a'x+b'y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+(a''x+b''y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}+\beta {\frac {\partial u}{\partial y}}=0;$

la méthode précédente conduit à deux types distincts d’intégrales renfermant chacun une fonction arbitraire. J’indiquerai seulement le calcul dans un cas particulier : c’est celui de l’équation d’Euler et de Poisson

$(x-y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}-\beta '{\frac {\partial u}{\partial x}}+\beta {\frac {\partial u}{\partial y}}=0,$

qui a fait l’objet d’une étude si remarquable de M. Darboux dans ses belles Leçons sur la théorie des surfaces.

» L’intégrale générale de l’équation en $f$ sera, dans ce cas,

$f=z^{\beta -1}z'^{\beta '-1}Q(z+z'),$

$Q$ désignant une fonction arbitraire. On a donc à considérer les intégrales doubles

$\iint e^{zx}e^{z'y}z^{\beta -1}z'^{\beta '-1}Q(z+z')\mathrm {d} z\mathrm {d} z'.$