mier ordre
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P, Q et R étant des polynômes du second degré en et . On a donc à déterminer une fonction de et satisfaisant à l’équation (3), et un contour
le long duquel s’annulent les expressions (2) ; certaines parties de ce
contour peuvent d’ailleurs être à l’infini. De plus, il sera très avantageux
de ne pas se borner à la signification usuelle de l’intégrale double, mais
de prendre une telle intégrale avec le sens plus général que lui a donné
M. Poincaré, en considérant et comme des variables complexes.
» L’intégration de l’équation (3) revient à l’intégration de l’équation ordinaire du premier ordre
que l’on ne sait pas intégrer d’une manière générale. Ce sera donc seulement
dans les cas, assez nombreux d’ailleurs, où l’on a pu faire complètement
l’étude de l’équation précédente que l’on pourra tirer parti de la
transformation qui nous occupe.
» 1. Un exemple assez général nous est fourni par l’équation suivante
la méthode précédente conduit à deux types distincts d’intégrales renfermant
chacun une fonction arbitraire. J’indiquerai seulement le calcul dans
un cas particulier : c’est celui de l’équation d’Euler et de Poisson
qui a fait l’objet d’une étude si remarquable de M. Darboux dans ses belles
Leçons sur la théorie des surfaces.
» L’intégrale générale de l’équation en sera, dans ce cas,
désignant une fonction arbitraire. On a donc à considérer les intégrales doubles