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» Je me propose de continuer ces études au printemps prochain, lorsqu’il me sera possible de revoir le Soleil à l’horizon marin.

» M. Forel, le premier, a fait remarquer que la déformation des images des objets terrestres réfléchis dans les lacs donne une preuve de la rondeur de la Terre. Je n’ai pas réussi à voir nettement ce phénomène à la mer ; au contraire, par un ciel pur et une mer calme, la forme elliptique de l’image du Soleil est très évidente, et il est même remarquable que personne n’y ait fait attention et surtout que les anciens astronomes n’y aient pas vu un indice de la rondeur de la Terre. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la transformation de Laplace et les équations linéaires aux dérivées partielles. Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite.

« La transformation de Laplace relative aux équations linéaires à une seule variable s’étend d’elle-même aux équations linéaires aux dérivées partielles. En se bornant aux équations à deux variables indépendantes $x$ et $y$, on doit chercher des solutions de la forme

(1)

$\iint e^{zx}e^{z'x}f(z,z')\,\mathrm {d} z\mathrm {d} z'$

en déterminant convenablement la fonction $f$ de $z$ et $z'$ et en choisissant convenablement le domaine de l’intégration double. Cette transformation ne paraît guère présenter d’intérêt que pour les équations linéaires aux dérivées partielles, dans lesquelles les coefficients sont des polynômes du premier degré en $x$ et $y$. Prenons donc l’équation

(E)

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+Fu=0,$

les coefficients A, B, ..., F étant linéaires en $x$ et $y$.

» On transformera, en intégrant par parties, chacune des dérivées et leurs produits par $x$ et par $y$, en supposant que le produit

(2)

$z^{\alpha }z'^{\beta }e^{zx}e^{z'y}f(z,z')\quad (\alpha ,\beta =1,2)$

s’annule le long du contour du domaine de l’intégration.

» On est ainsi conduit, pour déterminer $f$, à l’équation linéaire du pre-