Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 074, 1872.djvu/576

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

(576)

géomètres en donne une raison à laquelle on ne peut se refuser : « Si, dit-il, et toujours dans les mêmes conditions de régularité des mouvements, une différence extrêmement petite de vitesse, comme celle qui a lieu entre les molécules de deux couches contiguës, dont l’action ne se fait sentir qu’à des distances imperceptibles, développe une force sensible, une différence finie de vitesse entre les molécules de la paroi et celles du fluide en engendrerait une incomparablement plus considérable, à laquelle celle-là ne pourrait plus faire équilibre. » Il prouve d’ailleurs que si l’on suppose, contre les parois du tube, une vitesse finie à laquelle le frottement soit proportionnel (comme Navier croyait l’avoir démontré dans une partie contestable de son Mémoire) ou dont le frottement soit plus généralement une fonction, l’on arrive à de tout autres lois, pour les tubes de M. Poiseuille, que celles qui ont été révélées par les expériences citées^[1].

frottement retardateur s’exerçant sur l’unité de surface du cylindre fluide de rayon $r,$ on a, pour l’équation de la non-accélération de son mouvement, $\rho g$ étant le poids de l’unité de volume et $\mathrm {H} =\mathrm {IL} ,$ la différence des hauteurs de charge aux extrémités, ou $\mathrm {I}$ étant la pente fictive,

\mathrm {L} 2\pi r\varepsilon \left(-{\frac {du}{dr}}\right)=\pi r^{2}\rho g\mathrm {H} ,

d’où

(a)

\varepsilon {\frac {du}{dr}}+{\frac {\rho g\mathrm {I} r}{2}}=0,

qui donne, $\varepsilon$ étant regardé comme constant, et en faisant $u=u_{m}$ pour $r=0,$ avec $u=0$ à la paroi, ou, pour $r=\mathrm {R} ,$

(b)

u_{m}-u={\frac {\rho g\mathrm {I} }{4\varepsilon }}r^{2},\quad u_{m}={\frac {\rho g}{4\varepsilon }}\mathrm {I} \mathrm {R} ^{2}\ ;

d’où, en appelant $\mathrm {U}$ la vitesse moyenne d’écoulement,

(c)

\mathrm {U} ={\frac {1}{\pi \mathrm {R} ^{2}}}\int _{0}^{\mathrm {R} }u.2\pi rdr={\frac {\rho g}{8\varepsilon }}\mathrm {I} \mathrm {R} ^{2}={\frac {1}{2}}u_{m},

bien proportionnelle à la pente et au carré du diamètre conformément aux expériences.

↑ En effet, si la vitesse contre la paroi, ou pour $r=\mathrm {R} ,$ est une fonction $f$ du frottement, on a
$u_{m}-f\left({\frac {\rho g\mathrm {IR} }{2}}\right)={\frac {\rho g\mathrm {I} \mathrm {R} ^{2}}{4\varepsilon }},\quad u={\frac {\rho g\mathrm {I} }{4\varepsilon }}\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)+f\left({\frac {\rho g\mathrm {IR} }{2}}\right)\ ;$

d’où la vitesse moyenne

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g}{8\varepsilon }}\mathrm {I} \mathrm {R} ^{2}+f\left({\frac {\rho g\mathrm {I} \mathrm {R} }{2}}\right).$

Pour que $\mathrm {U}$ fût proportionnel à la pente $\mathrm {I} ,$ il faudrait que la fonction $f$ fût du premier de-

[2] En effet, si la vitesse contre la paroi, ou pour $r=\mathrm {R} ,$ est une fonction $f$ du frottement, on a
$u_{m}-f\left({\frac {\rho g\mathrm {IR} }{2}}\right)={\frac {\rho g\mathrm {I} \mathrm {R} ^{2}}{4\varepsilon }},\quad u={\frac {\rho g\mathrm {I} }{4\varepsilon }}\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)+f\left({\frac {\rho g\mathrm {IR} }{2}}\right)\ ;$

d’où la vitesse moyenne

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g}{8\varepsilon }}\mathrm {I} \mathrm {R} ^{2}+f\left({\frac {\rho g\mathrm {I} \mathrm {R} }{2}}\right).$

Pour que $\mathrm {U}$ fût proportionnel à la pente $\mathrm {I} ,$ il faudrait que la fonction $f$ fût du premier de-

[1]