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leur égard, de la première approximation, due à Lagrange et résumée par les deux formules $w^{2}=g\mathrm {H} ,$ $u\mathrm {H} =wh.$

» Si $wt$ désigne l’abscisse pour laquelle $h=h_{1},$ l’intégrale de (6) est

(8)

$4h_{1}=\left[2+e^{{\sqrt {\frac {3h_{1}}{\mathrm {H} ^{2}}}}(x-wt)}+e^{-{\sqrt {\frac {3h_{1}}{\mathrm {H} ^{2}}}}(x-wt)}\right]h.$

» La surface libre est donc symétrique par rapport à la verticale mobile $x=wt,$ et est tout entière au-dessus du niveau $y=\mathrm {H} .$ Sa courbure, sensiblement mesurée par la dérivée seconde de $h$ en $x,$ a pour expression, d’après (5), le quotient par $2\mathrm {H} ^{3}$ de $3h(2h_{1}-3h)\ :$ il y a deux points d’inflexion seulement, pour $h$ égal aux deux tiers de $h_{1},$ et, par suite, une seule convexité ou onde formée par le liquide. Le volume fluide $\mathrm {Q} ,$ qui constitue cette onde, est, par unité de largeur,

$2\int _{0}^{h_{1}}h{\frac {dx}{dh}}dh=4{\sqrt {\frac {\mathrm {H} ^{3}h_{1}}{3}}},$

intégrale dont la valeur s’obtient en substituant à la dérivée de $x$ en $h$ son expression tirée de (6) : on en déduit $h_{1}$ et $w$ en fonction de $\mathrm {Q} .$

» Supposons actuellement que l’onde ne se termine pas à son arrière, comme il arrive si elle est produite par une effusion permanente de liquide ou par un refoulement continu de l’eau vers les $x$ positifs. Les vitesses $u,$ $v$ ne pourront plus être partout de simples fonctions de $x-wt,$ $y\ ;$ car, si l’onde se propageait d’après les lois précédentes, la surface, représentée par (8), finirait par s’abaisser, du côté des $x$ négatifs, jusqu’au niveau $y=\mathrm {H} ,$ où l’eau serait immobile, conséquence impossible dans l’hypothèse d’une onde sans fin. Les expériences de M. Bazin, tout en montrant l’uniformité du mouvement de propagation de la lame liquide, d’une hauteur constante $h_{0},$ qui forme le corps de l’onde, me paraissent établir, en effet, que les renflements placés à sa tête, et dont il appelle le premier et le plus élevé onde initiale, sont très-variables de forme et de hauteur : la théorie précédente ne s’applique donc plus. Toutefois, une démonstration donnée par M. de Saint-Venant (Comptes rendus, t. LXXI, p. 186, 18 juillet 1870) permet d’obtenir la formule expérimentale de M. Bazin,

$w^{2}=g(\mathrm {H} +1,5h_{0}),$

même dans le cas où le rapport de $h_{0}$ à $\mathrm {H}$ ne serait pas très-petit. Cette démonstration, simple application du théorème sur les quantités de mouvement, consiste à considérer pendant un instant $\theta$ le volume liquide compris, au commencement de cet instant, entre deux sections $x=x_{0},$ où la profondeur est $\mathrm {H} +h_{0},$ et $x=x,$ où elle est $\mathrm {H} ,$ et à égaler le produit