Dans chaque plan tangent d’une surface (A), marquons un point M qui sera détermine par les coordonnées du point A ou le plan tangent touche (A). Par le point M, menons une parallèle a la normale en A à (A). Toutes ces droites remplissant l'espace sont tangentes à deux surfaces (B) et (C), la droite issue de M les touchant en B et C.
Si l'on suppose que ces droites sont entraînées en même temps que les plans tangents de (A) dans une déformation de cette surface, le produit de MB par MC reste invariable.
On peut, de ce théorème, déduire celui sur les enveloppes de sphères à l'aide de la théorie des pinceaux de droites inaugurée par Kummer.
Je m'étendrai plus longuement sur une dernière proposition générale:
Des courbes sont tracées dans les plans tangents d’une surface (A). Si elles sont normales à une famille de surfaces, elles jouissent toujours de cette propriété, quelle que soit la forme de (A).
Supposons que ces courbes soient des cercles. J’ai énoncé à la Société Philomathique cet autre théorème:
Si des cercles sont normaux à trois surfaces, ils le sont à une famille de surfaces faisant partie d’un système triplement orthogonal.
Il en résulte une classe de systèmes triples orthogonaux que je proposerai d’appeler systèmes cycliques, intimement liée a la déformation des surfaces.
Étant donnée une surface (A), on peut se proposer de chercher tous les systèmes cycliques qui en dérivent; le de cette surface étant mis sous la forme
| , |
on est conduit à l’équation du second ordre
| (1) |
![{\displaystyle \left({\frac {s}{\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {p}{\lambda ^{2}}}\right){\frac {d}{dy}}\left({\frac {q}{\lambda ^{2}}}\right)-\left[\left({\frac {p}{\lambda ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{\lambda ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {2\mathrm {Z} }{\lambda ^{2}}}\right]{\frac {d^{2}.\log \lambda }{dx\ dy}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9f08ba371d6e2c8af42158217298663e0776bc)
où sont les dérivées de Z par rapport à et ; Z étant d’ailleurs une fonction qui suffit à déterminer le cercle relatif à chaque plan tangent de (A).
Il résulte de ceci que l’intégrale générale des systèmes cycliques correspondant à une surface (A) contient quatre fonctions arbitraires: deux résultant de l’équation (1), et deux relatives à la forme de (A). L’équation (1) s’intègre immédiatement lorsque (A) est développable. Je mentionnerai, parmi les systèmes cycliques, celui qui correspond à des cercles de rayon constant. Dans ce cas, les surfaces trajectoires de ces cercles sont toutes
