Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 070, 1870.djvu/336

d’ordre $n$, diviseur de $p^{\nu }-1$, autre que $1$ ; et ${\frac {(p^{\nu }-1)}{2}}Q(n)$ d’ordre $n$, diviseur de $p^{\nu }+1$, autre que $1$ et $2$. »

GÉOMÉTRIE. — Sur la déformation des surfaces. Note de M. A. Ribaucour, présentée par M. Serret.

Lorsqu'un corps invariable de forme est assujetti à quatre conditions, M. Mannhein a fait voir que, généralement, ses points décrivent des surfaces, et qu’à un instant déterminé, les normales à ces surfaces s’appuient toutes sur deux droites. Dans le cas particulier où ces deux droites se rencontrent toujours, les lieux de leurs points de rencontre, dans l’espace et dans le corps, sont deux surfaces applicables l'une sur l’autre.

Il résulte de là que, dans l’espace, l’étude de la déformation des surfaces est analogue à l’étude dans le plan du mouvement le plus général d’une figure, et que l’on peut trouver des propriétés de la déformation comme on trouve des propriétés relatives au roulement de la roulette sur la base. En cherchant dans cette voie, j’ai rencontré plusieurs propositions que je réunirai dans un prochain Mémoire. Je demande à l'Académie la permission d’en citer ici quelques-unes:

J’ai fait voir, dans une Communication à la Société Philomathique, que: Si des cercles ayant leurs centres sur une courbe (A) sont entraînés avec leurs centres dans une déformation sans extension de (A), la somme algébrique des arcs correspondants des deux courbes-enveloppes de ces cercles est constante.

Ce théorème s’étendra à l’espace par les propositions suivantes:

Si des sphères ayant leurs centres sur une courbe à double courbure (A) sont entraînées avec leurs centres dans une déformation sans extension de (A), l’aire de la surface-enveloppe reste constante.

Des sphères ayant leurs centres sur une surface quelconque (A), si l'on suppose qu’elles soient entraînées avec leurs centres dans une déformation de (A):

1° La somme algébrique des aires correspondantes des deux nappes de la surface-enveloppe de ces sphères est constante, quelle que soit la déformation de (A);

2° La somme algébrique des valeurs sphériques de ces aires correspondantes est aussi indépendante de la forme de (A).

Ces deux derniers théorèmes sont, comme on le voit, une extension du célèbre théorème de Gauss; en voici une seconde: