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» On a donc

$d{\text{tang}}\theta ={\frac {d\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {{\frac {dy}{dx}}+\left({\frac {dv}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {dy}{dx}}\right)dt}{1+\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {du}{dy}}{\frac {dy}{dx}}\right)dt}}-{\frac {dy}{dx}},$

et, en négligeant $dt^{2}$ et remplaçant ${\tfrac {dy}{dx}}$ part ${\text{tang}}\theta ,$

${\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{\cos ^{2}\theta }}=\left({\frac {dv}{dx}}+{\text{tang}}\theta {\frac {dv}{dy}}\right)dt-{\text{tang}}\theta \left({\frac {du}{dx}}+{\frac {du}{dy}}{\text{tang}}\theta \right)dt,\\&{\frac {d\theta }{dt}}=\cos ^{2}\theta {\frac {dv}{dx}}+\sin \theta \cos \theta \left({\frac {dv}{dy}}-{\frac {du}{dx}}\right)-{\frac {du}{dy}}\sin ^{2}\theta \ ;\end{aligned}}$

par où l’on voit que la vitesse de rotation de la droite considérée dans son plan, est inversement proportionnelle au carré du rayon vecteur d’une certaine indicatrice du second degré. Si cette indicatrice est une ellipse, toutes les droites issues de son centre tournent dans le même sens, avec des vitesses inégales bien entendu ; si elle est une hyperbole, les unes tournent de gauche à droite, les autres de droite à gauche, et celles qui sont dirigées dans le sens des asymptotes ont une vitesse nulle. C’est le cas où l’équation en $\mathrm {S} ,$ formée plus haut, a ses trois racines réelles. Il existe alors un parailélipipède dont les faces, dans le déplacement infiniment petit, restent parallèles à elles-mêmes. Mais cette propriété n’est nullement partagée, comme cela aurait lieu nécessairement pour un corps solide, par les droites ou les plans non parallèles à ses faces et situés dans son intérieur.

» On sait quelle importance présente dans l’hydrodynamique l’expression différentielle

$udx+vdy+xdz,$

et combien les équations du mouvement sont simplifiées quand elle devient une différentielle exacte. Ce cas est celui où les trois plans dont nous avons parlé sont rectangulaires deux à deux : ils sont alors toujours réels, mais il n’existe aucune différence essentielle avec le cas général, dans lequel les trois plans peuvent être réels aussi et former des angles aussi voisins qu’on le voudra d’un angle droit.

» Ces résultats méritaient, je crois, par leur simplicité comme par leur généralité, d’être signalés à l’attention des géomètres et des physiciens. J’ai cru d’autant plus utile de le faire, qu’ils se trouvent en désaccord avec un Mémoire fort remarqué^[1] de l’un des physiciens les plus justement illustres de l’Allemagne. L’auteur, malgré sa connaissance très-profonde des

1. Journal de Crelle, t. lv, p. 25.