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c’est-à-dire

{\begin{aligned}{\frac {\cos \alpha {\frac {du}{dx}}+\cos \beta {\frac {dv}{dx}}+\cos \gamma {\frac {dw}{dx}}}{\cos \alpha }}&={\frac {\cos \alpha {\frac {du}{dy}}+\cos \beta {\frac {dv}{dy}}+\cos \gamma {\frac {dw}{dy}}}{\cos \beta }}\\&={\frac {\cos \alpha {\frac {du}{dz}}+\cos \beta {\frac {dv}{dz}}+\cos \gamma {\frac {dw}{dz}}}{\cos \gamma }}.\end{aligned}}

Si l’on égale ces trois rapports à une inconnue auxiliaire $\mathrm {S} ,$ on formera trois équations du premier degré en $\cos \alpha ,$ $\cos \beta ,$ $\cos \gamma ,$ qui, pour être compatibles, exigent que le déterminant

{\begin{alignedat}{3}&{\frac {du}{dx}}-\mathrm {S} \,&&{\frac {dv}{dx}}&&{\frac {dw}{dx}}\\&{\frac {du}{dy}}&&{\frac {dv}{dy}}-\mathrm {S} \,&&{\frac {dw}{dy}}\\&{\frac {du}{dz}}&&{\frac {dv}{dz}}&&{\frac {dw}{dz}}-\mathrm {S} \,\end{alignedat}}

soit égal à zéro. Cette équation étant du troisième degré aura une ou trois racines réelles, à chacune desquelles correspondra une solution du problème. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

» Dans un fluide en mouvement, il existe toujours, à chaque instant, en chaque point, un élément plan dont les molécules se transportent toutes ensemble sur un plan parallèle.

» Supposons ce plan déterminé et connu, et cherchons comment les molécules qui s’y trouvent peuvent se déplacer sans le quitter.

» Soient $x,$ $y$ les coordonnées de l’une d’elles $\mathrm {P} ,$ par rapport à deux axes situés dans ce plan ; $x+dx,$ $y+dy$ celles d’une molécule voisine $\mathrm {Q} \ ;$ leurs coordonnées après le temps dt seront

{\begin{alignedat}{2}x+udt,\quad &x+dx+\left(u+{\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy\right)dt,\\y+vdt,\quad &y+dy+\left(v+{\frac {dv}{dx}}dx+{\frac {dv}{dy}}dy\right)dt,\end{alignedat}}

et la tangente de l’inclinaison $\theta$ de la droite $\mathrm {PQ}$ sur l’axe des $\mathrm {X}$ passera de la valeur ${\tfrac {dy}{dx}}$ à la valeur

{\frac {dy+\left({\frac {dv}{dx}}dx+{\frac {dv}{dy}}dy\right)dt}{dx+\left({\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy\right)dt}}.