(1228)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos \alpha {\frac {du}{dx}}+\cos \beta {\frac {dv}{dx}}+\cos \gamma {\frac {dw}{dx}}}{\cos \alpha }}&={\frac {\cos \alpha {\frac {du}{dy}}+\cos \beta {\frac {dv}{dy}}+\cos \gamma {\frac {dw}{dy}}}{\cos \beta }}\\&={\frac {\cos \alpha {\frac {du}{dz}}+\cos \beta {\frac {dv}{dz}}+\cos \gamma {\frac {dw}{dz}}}{\cos \gamma }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b13b480386409d61480fdbb89fd40474ea9f2ff)
Si l’on égale ces trois rapports à une inconnue auxiliaire
on formera trois équations du premier degré en
qui, pour être compatibles, exigent que le déterminant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&{\frac {du}{dx}}-\mathrm {S} \,&&{\frac {dv}{dx}}&&{\frac {dw}{dx}}\\&{\frac {du}{dy}}&&{\frac {dv}{dy}}-\mathrm {S} \,&&{\frac {dw}{dy}}\\&{\frac {du}{dz}}&&{\frac {dv}{dz}}&&{\frac {dw}{dz}}-\mathrm {S} \,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac164d93b19fb4b7032981363b53741cc8674fa)
soit égal à zéro. Cette équation étant du troisième degré aura une ou trois racines réelles, à chacune desquelles correspondra une solution du problème. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
» Dans un fluide en mouvement, il existe toujours, à chaque instant, en chaque point, un élément plan dont les molécules se transportent toutes ensemble sur un plan parallèle.
» Supposons ce plan déterminé et connu, et cherchons comment les molécules qui s’y trouvent peuvent se déplacer sans le quitter.
» Soient
les coordonnées de l’une d’elles
par rapport à deux axes situés dans ce plan ;
celles d’une molécule voisine
leurs coordonnées après le temps dt seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x+udt,\quad &x+dx+\left(u+{\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy\right)dt,\\y+vdt,\quad &y+dy+\left(v+{\frac {dv}{dx}}dx+{\frac {dv}{dy}}dy\right)dt,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74031e253b031d1961a00e5373a9649d9a50ab6)
et la tangente de l’inclinaison
de la droite
sur l’axe des
passera de la valeur
à la valeur
![{\displaystyle {\frac {dy+\left({\frac {dv}{dx}}dx+{\frac {dv}{dy}}dy\right)dt}{dx+\left({\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy\right)dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718e3ab3bf237e35e9482a45d9e4907fa585ec1d)