(3*4,)
« Chaque nombre M (,) est facteur du second membre, dans — : — équations,
dont le premier membre est la somme de deux des [n — i) autres nombres, associés de telle sorte que la somme de leurs indices soit la même. De là, et delà définition que nous avons donnée pour la divisibilité, on déduit cette conséquence, que, si un nombre complexe < ? divise deux des n nombres M, M’, M", ..., M’" -1 ’, il divisera nécessairement tous les autres.
Chaque racine z, — est facteur du second membre dans n équations, dont le premier membre est la somme de deux des n nombres M, M’, M", ..., M (n ~", associés de telle sorte que la différence de leurs indices soit la même. Delà suit cette autre conséquence, qu’un nombre complexe %, ou z, par exemple, (ou même l’un des sous-facteurs de z, — s’il en avait), ne peut diviser un seul des ?2 facteurs M, M’, ..., M’" - *’, sans diviser aussi tous les autres.
Il résulte enfin de ces deux conséquences, que la somme des n’ èm " puissances de deux nombres complexes est égale à un produit de cette forme
(8) A" + B" = k n m m’ m"... m**-**,
k étant un nombre formé du produit de tous les nombres complexes qui pouvaient diviser à la fois deux des nombres M, M’, ..., M (B,), et, par suite, tous les autres ; m, m’, m", ..., m in ~, }, étant des nombres complexes, non divisibles, deux à deux par un même facteur complexe, ni seul à seul par aucune des valeurs de z, — ; et ces nombres m m vérifient toutes les équations (6), en sorte qu’on a, par exemple,
(9) m’ + ni" = z, m".
Ainsi, la somme des n iim " puissances de deux nombres complexes de la forme (i) ne saurait être divisible par une puissance de z, (3), de z t par exemple, dont l’exposant ne serait pas un multiple de n.
§ 111.
Actuellement, si l’on veut rendre le produit
’ k n mm’m"... m< n -,)
égal à la n lime puissance d’un nombre complexe C, il faudra que les nombres m, m’, m", ..., m !n,), qui n’admettent plus de diviseur commun, même deux à deux, soient respectivement égaux à des n 1 ’" 1 " puissances ; c’est-à-dire qu’il faudra poser
/ C = Af^>"...^"-<>, ï0) m = i i", 7H’ = p/", m" = [j." n, .., m"’-"=^ n -" n.
