Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 001, 1835.djvu/115

Baltimore et de Washington, étaient entièrement gelés. Le 3 et le 4, les voitures traversaient le Potomac sur la glace.

Nous terminerons cette note en rappelant que dans le même mois de janvier 1835, pendant lequel le froid en Amérique atteignait le degré de la congélation du mercure, nous avions en Europe un hiver tempéré. À Paris, en janvier, le thermomètre n’est pas descendu au-dessous de −6°,8.

MÉMOIRES PRÉSENTÉS.

Analyse mathématique. — Théorie des Différentielles exactes ; par M. Sarrus, professeur à la Faculté des Sciences de Strasbourg.

(Commissaires, MM. Poisson, Ampère, Libri.)

Le Mémoire de M. Sarrus renferme, dit-il, l’extension, la généralisation de la théorie des différentielles exactes qu’il fit paraître en janvier 1824 dans les Annales de Mathématiques de M. Gergonne. Voici l’aperçu que l’auteur avait lui-même donné de son travail, dans la note qu’il se proposait de lire aujourd’hui devant l’Académie.

« Pour abréger, je désigne les différentielles d’une variable, au moyen d’indices dont j’affecte la lettre qui représente cette variable. Ainsi,

$u_{n},v_{n},x_{n},y_{n},z_{n},\ldots$

sont les différentielles $n^{me}$ de $u,v,x,y,z$.

» Après cela, en désignant par $u$ une fonction quelconque de $x,x_{1},x_{2},\ldots x_{m},y,y_{1},y_{2},\ldots y_{m},z,z_{1},z_{2},\ldots z_{m},$ je parviens, par des calculs dont la plus grande difficulté consiste dans la peine même de les écrire ; je parviens, dis-je, à des équations analogues aux suivantes

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{i}}}={\frac {\mathrm {d} u_{n}}{\mathrm {d} x_{n+i}}}-n.\mathrm {d} .{\frac {\mathrm {d} u_{n}}{\mathrm {d} x_{n+i+1}}}+{\frac {n.n+1}{1.2}}\ \mathrm {d} ^{2}.{\frac {\mathrm {d} u_{n}}{\mathrm {d} x_{n+i+2}}}-\ldots$(1)

$\ o={\frac {\mathrm {d} u_{n}}{\mathrm {d} x_{n-1}}}-n.\mathrm {d} .{\frac {\mathrm {d} u_{n}}{\mathrm {d} x_{n}}}+{\frac {n.n+1}{1.2}}\ \mathrm {d} ^{2}.{\frac {\mathrm {d} u_{n}}{\mathrm {d} x_{n+1}}}-\ldots$(2)

dans lesquelles les coefficiens $\ {-n}$, $+\ {\frac {n.n+1}{1.2}}-\ldots$ sont précisément ceux du développement de $(1+h)^{-n}$.