une rigueur de plus en plus grande des problèmes en apparence différents du premier, ramené à ce point central de toutes les questions soulevées.
La méthode du balayage, par laquelle débuta en 1887 cet ensemble de travaux, est en quelque sorte toute imprégnée de physique et montre bien avec quelle souplesse l’auteur savait tout mettre en œuvre pour en dégager des procédés nouveaux de raisonnement abstrait. Tous les problèmes posés par les diverses théories de physique ou d’analyse pure que j’ai rappelées se ramènent en fin de compte ou sont étroitement liés au problème électrostatique de la distribution d’équilibre sur une surface conductrice fermée isolée dans l’espace, c’est-à-dire de la distribution superficielle qui. produit en tout point intérieur un potentiel constant donné.
L’idée fondamentale de la méthode du balayage est très élémentaire ; c’est la même qui se trouve à la base de la méthode des images électriques de Lord Kelvin : on peut, sans changer le potentiel-à l’extérieur d’une sphère, remplacer toute charge intérieure par une distribution convenable et très simple d’une charge égale sur la surface de la sphère. On peut ainsi, sans changer le potentiel à l’extérieur. balayer les charges intérieures à la sphère pour les amener sur la surface en formant une couche équivalente. Poincaré montre comment cette opération répétée une infinité de fois permet, et cela d’une infinité de manières, d’obtenir des développements convergents pour la densité superficielle d’équilibre électrique en un point d’une surface de forme quelconque sous la seule condition que la surface possède effectivement deux rayons de courbure au point considéré.
La seule méthode rigoureuse donnée antérieurement à celle-ci pour la solution du problème de Dirichlet, celle de Neumann, conduisait à des développements en série dont on ne pouvait démontrer la convergence que si la surface était convexe : Poincaré devait quelques années plus tard la reprendre et lui donner le même degré de généralité qu’à sa propre méthode.
Un autre mode de démonstration, proposé par Riemann, pour la possibilité du problème de Dirichlet, manquait de rigueur et ne donnait aucun moyen défini pour obtenir la solution, mais présentait cependant un très grand intérêt parce qu’il mettait en évidence une propriété importante de cette solution, et ramenait le problème à une question de calcul des variations. Riemann avait montré que
