donnés immédiatement dans le cours lui-même et rédigés en même temps que celui-ci par les élèves qu’il chargeait de ce soin, soit plus souvent, quand leur importance lui semblait assez grande, publiés par lui-même sous forme de Mémoires dont certains figurent parmi les plus importants qu’il ait produits. Dans la première catégorie, je citerai, par exemple, au cours des leçons sur la capillarité, la démonstration d’un fait établi expérimentalement par Plateau : une lame liquide mince en forme de cylindre circulaire droit appuyé sur deux anneaux égaux et parallèles, est stable lorsque la distance des anneaux est inférieure à leur circonférence, instable dans le cas contraire. La démonstration est conduite avec une élégance tout à fait caractéristique de la manière d’Henri Poincaré.
D’importance beaucoup plus générale sont les résultats qu’il a réunis et développés dans une série de notes et de mémoires publiés en 1887 et 1896 sur les équations aux dérivées partielles de la physique mathématique, sur ces problèmes toujours de même forme auxquels aboutissent, dans une surprenante unité, des théories aussi distinctes en apparence que celles de l’électrostatique, du magnétisme et du potentiel newtonien, de la propagation de la chaleur, de l’optique, de l’élasticité, de l’hydrodynamique et de la viscosité. On est toujours ramené à l’intégration d’une même équation aux dérivées partielles du second ordre avec des conditions aux limites qui seules varient suivant les problèmes. On sait, de plus, que la solution des questions ainsi posées par la physique a encore une très grosse importance au point de vue mathématique, comme si ces questions traduisaient l’essentiel d’un mode de raisonnement, d’une forme de pensée qui trouve son expression la plus claire dans le calcul des variations : elles se retrouvent dans la théorie des fonctions analytiques d’une variable imaginaire et « Riemann a pu fonder sur la possibilité du problème de Dirichlet sa magnifique théorie des fonctions abéliennes ».
Tant de généralité méritait l’effort qu’Henri Poincaré fournit en deux étapes ; la première aboutit en 1890 au Mémoire de l’American Journal of Mathematics sur les équations aux dérivées partielles de la physique mathématique et la seconde en 1896 à celui des Acta Mathematica sur la méthode de Neumann et le problème de Dirichlet. Il est remarquable que, parti en donnant du problème de Dirichlet la solution si originale connue sous le nom de « méthode du balayage », Poincaré se trouve à la fin, après avoir résolu avec
