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Dans le cas particulier où l’on suppose $\alpha ={\frac {\pi }{2}},\beta ={\frac {\pi }{2}},\gamma =0,$ $x_{0}=0,$ $y_{0}=0,z_{0}=0,$ la formule (31) ou (33) se réduit, comme on devait s’y attendre, à l’équation (26).

Si l’on faisait mouvoir dans l’espace, non plus la ligne que déterminent les équations (3) du § I, mais celle que déterminent les formules (30) du même paragraphe, la surface engendrée par le mouvement de cette ligne pourrait encore être représentée par une ou plusieurs équations aux différences partielles, qui ne renfermeraient pas les fonctions arbitraires $\varphi ,\chi ,\psi ,\ldots .$ Seulement ces équations aux différences partielles seraient, en général, d’un ordre supérieur au premier. Ajoutons que, pour les obtenir, il suffirait de considérer, dans les équations (30) du § I, $z$ et ${\mathfrak {C}}$ comme des fonctions des variables indépendantes $x,y,$ puis d’éliminer les quantités

(34)

${\mathfrak {C}},\quad {\frac {\partial {\mathfrak {C}}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial {\mathfrak {C}}}{\partial y}},\quad {\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {C}}}{\partial x^{2}}},\quad {\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {C}}}{\partial x\partial y}},\quad {\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {C}}}{\partial y^{2}}},\quad \ldots ,$

(35)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}\varphi ({\mathfrak {C}}),\quad &\varphi '({\mathfrak {C}}),\quad &\varphi ''({\mathfrak {C}}),&\ldots ,\\\chi ({\mathfrak {C}}),\quad &\chi '({\mathfrak {C}}),&\chi ''({\mathfrak {C}}),&\ldots ,\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots ..\end{alignedat}}\right.$

entre les équations (30) et celles qu’on en déduit par des différentiations relatives, soit à la variable $x,$ soit à la variable $y.$ Supposons, pour fixer les idées, que l’on désigne par $m$ le nombre des fonctions arbitraires

(36)

$\varphi ({\mathfrak {C}}),\quad \chi ({\mathfrak {C}}),\quad \psi ({\mathfrak {C}}),\quad \ldots ,$

et par $n$ un nombre entier quelconque. Si des séries (34) et (35) on exclut celles des dérivées partielles de, et celles des dérivées de $\varphi ({\mathfrak {C}}),\chi ({\mathfrak {C}}),\psi ({\mathfrak {C}}),\ldots$ dont l’ordre est supérieur à $n,$ le nombre des termes de la série (34) se réduira simplement au produit

${\frac {(n+1)(n+2)}{2}},$

et le nombre des termes compris dans les séries (35), à

$(n+1)m.$