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Dans le cas particulier où le sommet de la surface conique coïncide avec l’origine des coordonnées, la formule (11) se réduit à

(13)

$z=px+qy.$

Cette dernière équation est celle que fournit le théorème des fonctions homogènes dans le cas où l’on suppose que la fonction des variables $x,y,$ désignée par $z,$ est homogène et du premier degré.

Troisième exemple. — Concevons que l’on demande l’équation aux différences partielles d’une surface conoïde. Si cette surface a pour axe l’axe des $z,$ la génératrice sera représentée par les équations (15) du § I, desquelles on tirera

(14)

${\frac {dx}{x}}={\frac {dy}{y}},\qquad dz=0.$

Or on conclura de ces dernières, substituées à la formule (4) et combinées avec l’équation (1),

(15)

$px+qy=0.$

Cette équation aux différences partielles de la surface conoïde est précisément celle que fournit le théorème des fonctions homogènes, quand on suppose l’ordonnée $z$ équivalente à une fonction des variables $x,y,$ homogène et d’un degré nul. On pourrait encore établir cette même équation en observant que, si par le point $(x,y,z)$ on mène un plan tangent à la surface conoïde, il renfermera la génératrice tout entière et, par conséquent, le point d’intersection de la génératrice avec l’axe, c’est-à-dire, le point qui, sur cet axe, correspond à l’ordonnée $z.$ En effet, si, dans l’équation (12), on pose

$\xi =0,\quad \eta =0,\quad \zeta =0,$

on se trouvera précisément ramené à la formule (15).

Supposons maintenant que l’axe de la surface conoïde coïncide avec une droite menée par le point $(x_{0},y_{0},z_{0}),$ de manière à former, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ La généra-