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l’on nomme $p$ et $q$ les valeurs des dérivées partielles

${\frac {\partial z}{\partial x}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}$

que fournit l’équation de la surface, dans le cas où l’on regarde $x,y$ comme variables indépendantes, et $z$ comme une fonction de ces deux variables, on aura

(1)

$dz=pdx+qdy\,;$

et cette dernière équation sera toujours satisfaite, quand les coordonnées $x,y,z$ varieront de manière que le point $(x,y,z)$ décrive une courbe comprise dans la surface dont il s’agit. Or, si la courbe en question se confond avec la génératrice de la surface, elle aura pour équations finies les formules (3) du § I. Par suite, les différentielles des coordonnées de la courbe vérifieront les formules

(2)

${\frac {\partial v}{\partial x}}dx+{\frac {\partial v}{\partial y}}dy+{\frac {\partial v}{\partial z}}dz=0,\qquad {\frac {\partial w}{\partial x}}dx+{\frac {\partial w}{\partial y}}dy+{\frac {\partial w}{\partial z}}dz=0\,;$

et comme, en faisant, pour abréger,

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial w}{\partial y}},\\\mathrm {Q} =&{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial w}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial z}},\\\mathrm {R} =&{\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial w}{\partial x}},\end{aligned}}\right.$

on tirera des équations (2)

(4)

${\frac {dx}{\mathrm {P} }}={\frac {dy}{\mathrm {Q} }}={\frac {dz}{\mathrm {R} }},$

on conclura définitivement de l’équation (1) combinée avec la formule (4)

(5)

$\mathrm {P} p+\mathrm {Q} g=\mathrm {R} .$

Telle est l’équation aux différences partielles de toutes les surfaces