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${\mathfrak {C_{1},C_{2},C_{3}}},\ldots ,$ des relations telles que, la valeur de l’une étant donnée, les valeurs de toutes les autres s’en déduisent, si l’on suppose, par exemple,

(29)

${\mathfrak {C}}_{1}=\varphi ({\mathfrak {C}}),\qquad {\mathfrak {C}}_{2}=\chi ({\mathfrak {C}}),\qquad {\mathfrak {C}}_{3}=\psi ({\mathfrak {C}}),\qquad \ldots ,$

$\varphi ({\mathfrak {C}}),\chi ({\mathfrak {C}}),\psi ({\mathfrak {C}})$ désignant des fonctions de la constante ${\mathfrak {C}},$ les équations (1), réduites aux deux suivantes

(30)

$\left\{{\begin{aligned}\operatorname {f} \left[x,y,z,{\mathfrak {\varphi (C),\chi (C),\psi (C)}},\ldots \right]&=0,\\\operatorname {F} \left[x,y,z,{\mathfrak {\varphi (C),\chi (C),\psi (C)}},\ldots \right]&=0,\end{aligned}}\right.$

représenteront une ligne dont la forme et la position seront complètement déterminées pour chaque valeur particulière de la constante ${\mathfrak {C}}.$ Donc, si l’on attribue successivement à cette constante une infinité de valeurs, la ligne en question se mouvra de manière à engendrer une certaine surface. Or, la forme et la position de cette surface dépendront évidemment de la nature des fonctions ${\mathfrak {\varphi (C),\chi (C),\psi (C)}},\ldots ,$ que l’on peut choisir arbitrairement. Ajoutons que, pour obtenir l’équation de la surface, il suffira d’éliminer ${\mathfrak {C}}$ entre les équations (30), mais qu’on ne pourra, en général, effectuer cette élimination qu’après avoir remplacé les fonctions arbitraires ${\mathfrak {\varphi (C),\chi (C),\psi (C)}},\ldots ,$ par des fonctions déterminées de la constante ${\mathfrak {C}}.$

Il est bon d’observer que, dans les équations (30), on pourrait faire dépendre les unes des autres plusieurs des fonctions ${\mathfrak {\varphi (C),\chi (C),\psi (C)}},\ldots ,$ et prendre, par exemple, pour ${\mathfrak {\varphi (C),\chi (C),\psi (C)}},\ldots ,$ des dérivées de la fonction $\varphi ({\mathfrak {C}}).$ Ainsi, pour fixer les idées, on pourrait supposer

$\chi ({\mathfrak {C}})=\varphi '({\mathfrak {C}}),\qquad \psi ({\mathfrak {C}})=\varphi ''({\mathfrak {C}}),\qquad \ldots .$

§ II. — Équations aux différences partielles des surfaces engendrées
par le mouvement des lignes.

Considérons d’abord la surface engendrée par le mouvement de la ligne droite ou courbe que représentent les équations (3) du § I. Si