et à une infinité de plans principaux, si les valeurs correspondantes de et vérifient les deux formules
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Le cas où l’on aurait à la fois
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est le seul dans lequel le plan principal disparaisse. D’ailleurs nous avons prouvé ci-dessus qu’il existe, par rapport à la surface (1), trois directions principales et perpendiculaires entre elles, lorsque l’équation (26) n’a pas de racines égales, et, dans le cas contraire, une infinité de systèmes de directions principales qui, étant prises trois à trois, sont encore perpendiculaires l’une à l’autre. Donc, à moins que l’équation (26) n’offre une racine nulle ou des racines nulles, correspondantes à une valeur positive ou négative de o, et, par conséquent, propres à vérifier les conditions (83), il existera, pour la surface du second degré, trois plans principaux et perpendiculaires entre eux, ou une infinité de systèmes de plans principaux, qui, étant pris trois à trois, se couperont à angles droits. Les systèmes de plans rectangulaires, dont il est ici question, se réduiront effectivement à un seul, si l’équation (26) n’a pas de racines égales ni de racines nulles. Alors les trois plans principaux se couperont suivant trois droites perpendiculaires entre elles, et que l’on nomme axes principaux. Mais, si l’équation (26) admet, ou des racines égales qui different de zéro, ou quelque racine nulle correspondante à une valeur nulle de o, le nombre des systèmes des plans principaux et perpendiculaires entre eux étant alors infini, les droites, suivant lesquelles ils se couperont mutuellement, offriront une infinité de systèmes d’axes principaux.
Une remarque importante à faire, c’est que tout point, suivant lequel se coupent trois plans principaux rectangulaires entre eux, et par conséquent trois axes principaux, est toujours un centre de la surface (1). En effet, trois plans de cette espèce étant donnés, construisons un parallélépipède rectangle qui ait pour centre leur point d’intersection,
