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sensiblement à ${\frac {{\mathcal {P}}-\mathrm {P} }{\rho ^{\mathfrak {r}}}}$ pour une extrémité libre. Donc la différence

(259)

${\mathcal {R}}_{0}-{\frac {{\mathcal {P}}-\mathrm {P} }{\rho ^{\mathfrak {r}}}}$

doit être, pour une extrémité libre, de l’ordre des termes omis dans l’équation (223), c’est-à-dire que cette différence doit être de l’ordre de $h^{2}.$ Si l’on avait égard aux termes de cet ordre, alors, au lieu de la formule (258), on obtiendrait celle que fournit l’élimination de ${\mathcal {A}}_{0}$ entre les équations (230) et (254), savoir

(260)

${\mathcal {A}}_{2}+2{\mathfrak {r}}{\frac {d^{2}{\mathcal {A}}_{1}}{ds^{2}}}+\rho {\mathfrak {r}}\left[{\mathcal {R}}_{2}-{\frac {2}{3}}{\mathcal {R}}_{1}+2{\frac {d\left({\mathcal {S}}_{1}-{\frac {1}{\mathfrak {r}}}{\mathcal {S}}_{0}\right)}{ds}}+{\frac {6}{h^{2}}}\left({\mathcal {R}}_{0}-{\frac {{\mathcal {P}}-\mathrm {P} }{\rho ^{\mathfrak {r}}}}\right)\right]=0.$

Quand on veut tirer parti des conditions relatives aux limites pour déterminer les constantes arbitraires introduites pour l’intégration des formules (223), (231), il convient de substituer à la condition (254) la formule (260).

On pourrait imaginer diverses hypothèses en vertu desquelles les conditions relatives aux extrémités de la lame seraient représentées, non plus par les formules (250), (251), (252) ou (255), (256), (260), mais par des formules nouvelles. Ainsi, par exemple, si les extrémités de la ligne moyenne, en devenant fixes, prenaient des positions distinctes de celles qu’elles occupaient dans l’état naturel, les valeurs de $\gamma _{0},\delta _{0},$ correspondantes à ces extrémités, se réduiraient, non pas à zéro, mais à des quantités constantes. On pourrait supposer encore que les extrémités de la ligne moyenne sont assujetties à rester sur des courbes données, ou que les plans qui terminent la lame supportent des pressions ou tensions dirigées d’une manière quelconque et données en chaque point, etc. Dans ces différents cas, la recherche des formules qui devront être substituées à celles que nous avons obtenues se déduira sans peine des principes que nous avons exposés.

Dans les diverses équations ci-dessus établies, les quantités $\gamma _{0},\delta _{0}$ désignent les valeurs de $\gamma ,\delta$ correspondantes à $r=0,$ c’est-à-dire les