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on désigne par $\omega$ et $\rho$ la vitesse et la densité du fluide correspondantes au point $(x,y,z).$ Comme la quantité de chaleur qui, pendant l’instant $\Delta t,$ traversera l’élément de surface $s,$ sera nécessairement proportionnelle, d’une part à la densité $\rho ,$ d’autre part à la vitesse $\omega ,$ et, par suite, au produit $\rho \omega ,$ on aura, en vertu de l’hypothèse admise,

(16)

$\rho \omega =k{\text{ȣ}},$

(17)

$\omega ={\frac {k{\text{ȣ}}}{\rho }},$

la valeur de ȣ étant déterminée par la formule (8), et $k$ désignant un coefficient positif qui ne pourra dépendre que des variables $x,y,z$. Ajoutons que ce coefficient sera constant si le fluide se meut dans l’espace ou dans un corps homogène, tandis que, dans le cas contraire, il mesurera la conductibilité du corps échauffé au point $(x,y,z).$ Quant aux angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ formés par la direction de la vitesse $\omega$ avec les demi-axes des coordonnées positives, ils coïncideront avec les angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ déterminés par la formule (15), qui pourra s’écrire comme il suit

(18)

${\frac {\cos \alpha }{\frac {\partial \rho }{\partial x}}}={\frac {\cos \beta }{\frac {\partial \rho }{\partial y}}}={\frac {\cos \gamma }{\frac {\partial \rho }{\partial z}}}=-{\frac {1}{\text{ȣ}}},$

et de laquelle on tirera

(19)

$\cos \alpha =-{\frac {1}{\text{ȣ}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}},\qquad \cos \beta =-{\frac {1}{\text{ȣ}}}{\frac {\partial \rho }{\partial y}},\qquad \cos \gamma =-{\frac {1}{\text{ȣ}}}{\frac {\partial \rho }{\partial z}}.$

Cela posé, si l’on nomme $u,v,w$ les projections algébriques de la vitesse $\omega$ sur les demi-axes des coordonnées positives, on trouvera

(20)

$\left\{{\begin{aligned}u=&\omega \cos \alpha =-{\frac {k}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}},\\v=&\omega \cos \beta =-{\frac {k}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial y}},\\w=&\omega \cos \gamma =-{\frac {k}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial z}}\end{aligned}}\right.$

et, par suite,

(21)

$\rho u=-k{\frac {\partial \rho }{\partial x}},\qquad \rho v=-k{\frac {\partial \rho }{\partial y}},\qquad \rho w=-k{\frac {\partial \rho }{\partial z}}.$