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plans non parallèles, si la valeur de $k$ déterminée par la formule (87) vérifie la seconde des équations (72), savoir à une droite, si le polynôme (101) est positif, et au système de deux plans parallèles, si le même polynôme est négatif ; 3^o que les deux plans parallèles se réduiront à un seul, si la valeur de $k$ déterminée par la formule (92) devient égale à $\mathrm {K} ,$ et disparaîtront si la valeur de $\mathrm {R}$ déterminée par la formule (100) devient négative, c’est-à-dire si le premier des produits (57) est négatif.

Les règles que nous venons de tracer, jointes à celles que nous avons données ci-dessus pour la distinction des surfaces qui ont un centre unique, suffisent évidemment pour compléter la solution de la question suivante :

Problème II. — Étant donnée une équation du second degré entre trois coordonnées rectangulaires $x,y,z,$ déterminer l’espèce de la surface représentée par cette équation.

Lorsque la surface (1) est un hyperboloïde à une ou à deux nappes, η, et que l’on suppose dans la formule (2) les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta$ déterminées par les formules (48), alors, pour rendre la formule (2) propre à représenter une asymptote menée à cette surface par le point $(\xi ,\eta ,\zeta ),$ il suffit de choisir les angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ de manière que la distance $r$ déterminée par la formule (54) devienne infinie, et, par conséquent, de manière à vérifier l’équation

(102)

s=0

ou

(103)

\left\{{\begin{aligned}{\rm {A\cos ^{2}\alpha +B\cos ^{2}\beta +C\cos ^{2}\gamma +2D\cos \beta \cos \gamma }}&\\{\rm {+2E\cos \gamma \cos \alpha +2F\cos \alpha \cos \beta }}&=0.\end{aligned}}\right.

Donc, toutes les asymptotes menées à la surface (1) par son centre seront comprises dans la surface conique du second degré représentée par l’équation

(104)

\left\{{\begin{aligned}{\rm {(A(x-\xi )^{2}+B(y-\eta )^{2}+C(z-\zeta )^{2}+2D(y-\eta )(z-\zeta )}}&\\{\rm {+2E(z-\zeta )(x-\xi )+2F(x-\xi )(y-\eta )}}&=0,\end{aligned}}\right.