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COURS D’ANALYSE.

variables, $f(x,y,z,\ldots )$ soit à la fois fonction continue de $x,$ fonction continue de $y,$ fonction continue de $z,\ldots .$ On prouvera aisément que, si l’on désigne par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ des quantités infiniment petites, et si l’on attribue à $x,y,z,\ldots$ les valeurs $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ ou des valeurs très voisines, la différence

$f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma )-f(x,y,z,\ldots )$

sera elle-même infiniment petite. En effet, il est clair que, dans l’hypothèse précédente, les valeurs numériques des différences

${\begin{aligned}&f(x+\alpha ,y,z,\ldots )-f(x,y,z,\ldots ),\\&f(x+\alpha ,y+\beta ,z,\ldots )-f(x+\alpha ,y,z,\ldots ),\\&f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots )-f(x+\alpha ,y+\beta ,z,\ldots ),\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ savoir, la valeur numérique de la première différence avec la valeur numérique de $\alpha ,$ celle de la seconde différence avec la valeur numérique de $\beta ,$ celle de la troisième avec la valeur numérique de $\gamma ,$ et ainsi de suite. On doit en conclure que la somme de toutes ces différences, savoir

$f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots )-f(x,y,z,\ldots ),$

convergera vers la limite zéro, si $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ convergent vers cette même limite. En d’autres termes,

$f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots )$

aura pour limite

$f(x,y,z,\ldots ).$

La proposition qu’on vient de démontrer subsiste évidemment dans le cas même où l’on établirait entre les nouvelles variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ certaines relations. Il suffit que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro.

Lorsque, dans la même proposition, on remplace $x,y,z,\ldots$ par