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que la quantité $f(a),$ nécessairement finie, ne pourra différer de zéro. Par conséquent on vérifiera l’équation

(1)

$f(x)=0,$

en attribuant à la variable $x$ la valeur particulière $a$ comprise entre $x_{0}$ et $\mathrm {X} .$ En d’autres termes,

(4)

$x=a$

sera une racine de l’équation (1).

Scolie I. — Si, après avoir poussé les séries (2) et (3) jusqu’aux termes

$x_{n}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {X} ^{(n)}$

$(n$ désignant un nombre entier quelconque$),$ on prend la demi-somme de ces deux termes pour valeur approchée de la racine $a,$ l’erreur commise sera plus petite que leur demi-différence, savoir

${\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {X} -x_{0}}{m^{n}}}.$

Comme cette dernière expression décroit indéfiniment à mesure que $n$ augmente, il en résulte que, en calculant un nombre suffisant de termes des deux séries, on finira par obtenir de la racine a des valeurs aussi approchées que l’on voudra.

Scolie II. — S’il existe entre les limites $x_{0},\mathrm {X}$ plusieurs racines réelles de l’équation (1), la méthode précédente en fera connaitre une partie, et quelquefois même les fournira toutes. Alors on trouvera pour $x_{1}$ et $\mathrm {X} ',$ ou bien pour $x_{2}$ et $\mathrm {X} '',\ldots$ plusieurs systèmes de valeurs qui jouiront des mêmes propriétés.

Scolie III. — Si la fonction $f(x)$ est constamment croissante ou constamment décroissante depuis $x=x_{0},$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ il n’existera entre ces limites qu’une seule valeur de $x$ propre à vérifier l’équation (1).

Corollaire I. — Si l’équation (1) n’a pas de racines réelles comprises entre les limites $x_{0},\mathrm {X} ,$ les deux quantités

$f(x_{0}),\quad f(\mathrm {X} )$

seront de même signe.