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COURS D’ANALYSE.

et, pour des valeurs négatives de $a$,

(5)

$$\operatorname {arc\ cot} a+\operatorname {arc\ tang} a=-{\frac {\pi }{2}}$$

Lorsqu’une quantité variable converge vers une limite fixe, il est souvent utile d’indiquer cette limite par une notation particulière ; c’est ce que nous ferons, en plaçant l’abréviation $$\lim$$ devant la quantité variable dont il s’agit. Quelquefois, tandis qu’une ou plusieurs variables convergent vers des limites fixes, une expression qui renferme ces variables converge à la fois vers plusieurs limites différentes les unes des autres. Nous indiquerons alors une quelconque de ces dernières limites à l’aide de doubles parenthèses placées à la suite de l’abréviation $\lim$, de manière à entourer l’expression que l’on considère. Supposons, pour fixer les idées, qu’une variable positive ou négative représentée par $x$ converge vers la limite $o$, et désignons par $\mathrm {A}$ un nombre constant : il sera facile de s’assurer que chacune des expressions $$\lim \mathrm {A} ^{x},\quad \lim \sin x$$ a une valeur unique déterminée par l’équation $$\lim \mathrm {A} ^{x}=1$$ ou $$\lim \sin x=0,$$ tandis que l’expression $$\lim \left(\left({\frac {1}{x}}\right)\right)$$ admet deux valeurs, savoir, $+\infty$, $-\infty$, et $$\lim \left(\left(\sin {\frac {1}{x}}\right)\right)$$ une infinité de valeurs comprises entre les limites $-1$ et $+1$.

Nous allons terminer ces préliminaires en présentant, sur les quantités moyennes, plusieurs théorèmes dont la connaissance nous sera