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seconds membres,

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{\beta }+e^{-\beta }}{2}}\cos \alpha -{\frac {e^{\beta }-e^{-\beta }}{2}}\sin \alpha {\sqrt {-1}},\\\sin x&={\frac {e^{\beta }+e^{-\beta }}{2}}\sin \alpha +{\frac {e^{\beta }-e^{-\beta }}{2}}\cos \alpha {\sqrt {-1}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}\right.$

Ainsi, dans l’hypothèse admise, les trois notations

$\mathrm {A} ^{x},\quad \sin x,\quad \cos x$

désignent respectivement les trois expressions imaginaires

$\mathrm {A} ^{x}\left(\cos \beta l\mathrm {A} +{\sqrt {-1}}\sin \beta l\mathrm {A} \right),$

${\frac {e^{\beta }+e^{-\beta }}{2}}\sin \alpha +{\frac {e^{\beta }-e^{-\beta }}{2}}\cos \alpha {\sqrt {-1}},$

${\frac {e^{\beta }+e^{-\beta }}{2}}\cos \alpha -{\frac {e^{\beta }-e^{-\beta }}{2}}\sin \alpha {\sqrt {-1}}.$

Dans la même hypothèse, si l’on fait

$\mathrm {A} =e,$

l’équation (7) fournira pour la notation

$e^{x}$

la valeur suivante :

$e^{\alpha }\left(\cos \beta +{\sqrt {-1}}\sin \beta \right).$

Les valeurs des trois fonctions

$\mathrm {A} ^{x},\quad \sin x,\quad \cos x$

se trouvant fixées par ce qui précède, dans le cas où la variable $x$ devient imaginaire, nous avons encore à chercher quelles définitions on doit donner, dans le même cas, des fonctions inverses

$\mathrm {L} x,\quad \operatorname {arc\,sin} x,\quad \operatorname {arc\,cos} x$