Page:Cauchy - Œuvres complètes, 1882, Série 2, Tome 3.djvu/123

puis, en extrayant de part et d’autre les racines positives,

$\varphi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{4}}+r^{-{\frac {1}{4}}}\right).$

Par des raisonnements semblables, on obtiendra successivement les formules

${\begin{aligned}&\varphi \left({\frac {1}{8}}\alpha \right)\ ={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{8}}+r^{-{\frac {1}{8}}}\right),\\&\varphi \left({\frac {1}{16}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{16}}+r^{-{\frac {1}{16}}}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général, $n$ désignant un nombre entier quelconque,

$\varphi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{2^{n}}}+r^{-{\frac {1}{2^{n}}}}\right).$

Si l’on opère sur la valeur précédente de $\varphi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right),$ pour en déduire celle de $\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right),$ comme on a opéré sur la valeur de $\varphi (\alpha ),$ pour en déduire celle $\varphi (m\alpha ),$ on trouvera

$\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {m}{2^{n}}}+r^{-{\frac {m}{2^{n}}}}\right)\,;$

puis, en supposant que la fraction ${\frac {m}{2^{n}}}$ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre $\mu ,$ et passant aux limites, on obtiendra l’équation

(5)

$\varphi (\mu \alpha )={\frac {1}{2}}\left(r^{\mu }+r^{-\mu }\right).$

De plus, si dans la formule (1) on fait

$x=\mu \alpha ,\qquad y=0,$

on en conclura

$\varphi (-\mu \alpha )=\left[2\varphi (0)-1\right]\varphi (\mu \alpha )={\frac {1}{2}}\left(r^{-\mu }+r^{\mu }\right).$