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on en déduira l’une après l’autre les formules

${\begin{aligned}&\varphi (2\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)^{2}-1={\frac {1}{2}}\left(r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\right),\\&\varphi (3\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\left(r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(r\ +{\frac {1}{r}}\ \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{3}+{\frac {1}{r^{3}}}\right),\\&\varphi (4\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\left(r^{3}+{\frac {1}{r^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(r^{4}+{\frac {1}{r^{4}}}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général, $m$ désignant un nombre entier quelconque,

$\varphi (m\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\left(r^{m-1}+{\frac {1}{r^{m-1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(r^{m-2}+{\frac {1}{r^{m-2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(r^{m}+{\frac {1}{r^{m}}}\right).$

J’ajoute que la formule

$\varphi (m\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r^{m}+{\frac {1}{r^{m}}}\right)$

subsistera encore, si l’on y remplace le nombre entier $m$ par une fraction, ou même par un nombre quelconque $\mu .$ C’est ce que l’on prouvera facilement, ainsi qu’il suit.

Si dans l’équation (1) on fait $x={\frac {1}{2}}\alpha ,$ $y={\frac {1}{2}}\alpha ,$ on en tirera

$\left[\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)\right]^{2}={\frac {\varphi (0)+\varphi (\alpha )}{2}}={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}\left(r^{\frac {1}{2}}+r^{-{\frac {1}{2}}}\right)^{2}\,;$

puis, en extrayant les racines positives des deux membres, et en observant que la fonction $\varphi (x)$ reste positive entre les limites $x=0,$ $x=\alpha ,$ on trouvera

$\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{2}}+r^{-{\frac {1}{2}}}\right).$

De même, si dans l’équation (1) on fait

$x={\frac {1}{4}}\alpha ,\qquad y={\frac {1}{4}}\alpha ,$

on en tirera

$\left[\varphi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)\right]^{2}={\frac {\varphi (0)+\varphi ({\frac {1}{2}}\alpha )}{2}}={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{2}}+r^{-{\frac {1}{2}}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}\left(r^{\frac {1}{4}}+r^{-{\frac {1}{4}}}\right)^{2}\,;$