104. Un autre principe qui dérive du premier, et qui est également fondamental, est que la variation de l’intégrale d’une quantité quelconque différentielle est égale à l’intégrale de la variation ; c’est-à-dire qu’en général
![{\displaystyle \textstyle \delta \int \mathrm {P} =\int \delta \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c748b55a713722c86c0b4356d17cce7ebac569e1)
,
P exprimant une fonction quelconque différentielle de diverses variables, telles que x, y, z, etc., et de leurs différentielles.
En effet, soit
![{\displaystyle \textstyle \int \mathrm {P} =\mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23655206373537108cbfd214609db2c32b696e27)
;
en différentiant on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} =d\mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9251d91ddb388d70f2e11fe0ce4a7876f67ba24)
,
et prenant les variations,
![{\displaystyle \delta \mathrm {P} =\delta d\mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ad5f9d4466084a6f906835b806b6b43082a321)
,
ou, d’après le principe établi ci-dessus,
![{\displaystyle \delta \mathrm {P} =d\delta \mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8ae3aa24ea15fc9950b40b6fdac5e45458014e)
;
intégrant alors on aura
![{\displaystyle \textstyle \int \delta \mathrm {P} =\delta \mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8a75576441c471fa69ed9d312ad1d465ba3bc3)
,
ou, remettant pour U sa valeur,
![{\displaystyle \textstyle \int \delta \mathrm {P} =\delta \int \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e47e1457c1af261598d3446ab590db543b5ce3a)
.
105. Maintenant soit proposé de trouver la variation d’une formule intégrale indéfinie
; c’est-à-dire de trouver
, ou plutôt de donner à cette expression une forme qui la dispose à être dégagée du signe auxiliaire δ, lequel est toujours celui qu’on doit tendre à faire disparaître le premier.
D’après le second principe fondamental, nous aurons
![{\displaystyle \textstyle \delta \int \mathrm {V} dx=\int \delta (\mathrm {V} dx)=\int dx\delta \mathrm {V} +\int \mathrm {V} \delta dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7b62f85474d18485b26caab93d2d78395aca70)
,
ou, par le premier principe,
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|
(A)
|
mais
![{\displaystyle d(\mathrm {V} \delta x)=d\mathrm {V} \delta x+\mathrm {V} d\delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805fc07588e2f2cdf0fc13a1d90bc8aed5b0dc90)
,
ou, en intégrant et transposant,
![{\displaystyle \textstyle \int \mathrm {V} d\delta x=\mathrm {V} \delta x-\int d\mathrm {V} \delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f590ceb3fc3d1c4ff71c908a380c916e0037fa7)
.