Pour rectifier une courbe, nous la considérons comme un polygone d’une infinité de côtés, et nous la supposons formée, en croissant continuellement par l’addition successive de ces petits côtés, à mesure que l’abscisse augmente elle-même ; de sorte que le dernier de ces petits côtés est la différentielle de l’arc cherché, et celle-ci l’intégrale de cette différentielle.
Nommant donc s l’arc cherché, ds sera le dernier des petits côtés du polygone ; et comme ce petit côté est l’hypoténuse du triangle qui a dx et dy pour ses autres côtés, on aura pour toute courbe l’équation imparfaite
je dis équation imparfaite, parce qu’en considérant la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés, on commet une erreur, mais cette erreur peut être supposée aussi petite qu’on le veut ; donc on a aussi l’équation imparfaite
(A) |
Mais dans le cas présent, nous avons par hypothèse
d’où l’on tire
et en différentiant,
donc
Substituant cette valeur de dans la formule (A), nous aurons